贵州省贵阳市开阳县南江乡中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

贵州省贵阳市开阳县南江乡中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知直线l：y=k(x+1)(k>0)与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是

(A)

(B)

(C)

(D)

2

参考答案：C略2.在△ABC中，a=+1,

b=－1,

c=，则△ABC中最大角的度数为

（

）A.600

B.900

C.1200

D.1500参考答案：C3.．把24粒种子分别种在8个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，则的数学期望为

A．10元

B．20元

C．40元

D．80元参考答案：A4.已知向量、满足，，，则A. B.3 C. D.参考答案：B略5.设函数的最大值为,最小值为，则的值为、

、

、

、参考答案：由已知，令，易知为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为，，=，故选.6.已知的图象如右图，则函数的图象可能为参考答案：B由函数图象知，所以选B.7.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】利用点到直线距离公式可求得，利用求得，进而可得离心率.【详解】取双曲线的一个焦点，一条渐近线：

本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是利用点到直线距离公式构造方程求得，属于基础题.8.函数的大致图象是（

）参考答案：C略9.已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+=（+）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性10.已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是（

）A.1 B. C.2 D.3参考答案：B【分析】通过三视图可以知道该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，根据棱柱的体积公式，直接求解。【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其底面是直角边边长分别为的直角三角形，高为，，故本题选B。【点睛】本题考查了通过三视图判断出几何体的形状、并求出其体积。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，首项，则公比为

。参考答案：312.已知△ABC的边a，b，c的对角分别为A，B，C，若且，则角A的大小为_____.参考答案：【分析】根据正弦定理化简边角关系可得，从而可知，根据大边对大角的关系可知，从而可求得；根据三角形内角和可求得结果.【详解】由正弦定理得：，即

又

由得：，即

本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、根据三角函数值的符号确定角的范围、三角形内角和、三角形大边对大角的应用等.

13.参考答案：14.函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调增区间是

．参考答案：[kπ﹣，]【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据图象的两个点A、B的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的单调增区间．【解答】解：由图象可以看出正弦函数的四分之三个周期是，∴T==π∴ω=2，又由函数f（x）的图象经过（，2）∴2=2sin（2×+φ）∴+φ=2kπ+，（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又由﹣＜φ＜，则φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间是：[kπ﹣，]．故答案为：[kπ﹣，]．【点评】本题主要考查了由部分图象确定函数的解析式，正弦函数的图象和性质，本题解题的关键是确定初相的值，这里利用代入点的坐标求出初相，属于中档题．15.设全集U=R，A=则AB=________．参考答案：16.已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则的取值范围为

．参考答案：[﹣，4]．【分析】根据题意，把化为3+2?﹣1，利用参数表示点C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根据三角函数的有界性求出3+2?﹣1的最值即可．【解答】解：根据题意，=﹣，且||=||=||=1，∴=（+）?（+）+（+）?（+）+（+）?（+）=3+2?（++）+?+（+）?=3+2?﹣1，以点O为坐标原点，建立直角坐标系，设点C（cosα，sinα），点P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；则3+2?﹣1=3r2﹣2rcos（α﹣β）﹣1，∴3+2?﹣1≤3r2+2r﹣1≤4，且3+2?﹣1≥3r2﹣2r﹣1≥﹣；∴的取值范围是[﹣，4]．故答案为：[﹣，4]．17.函数的极小值点为

．参考答案：(或填)

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，圆N：x2+（y﹣8）2=40，经过原点的两直线l1，l2满足l1⊥l2，且l1交圆M于不同两点A，B，l2交圆N于不同两点C，D，记l1的斜率为k．（1）求k的取值范围；（2）若四边形ABCD为梯形，求k的值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，即可求k的取值范围；（2）由四边形ABCD为梯形可得，所以=，利用韦达定理，即可求k的值．【解答】解：（1）显然k≠0，所以l1：y=kx，l2：y=﹣x．依题意得M到直线l1的距离d1=＜，整理得k2﹣4k+1＜0，解得2﹣＜k＜2+；…（2分）同理N到直线l2的距离d2=＜，解得﹣＜k＜，…（4分）所以2﹣＜k＜．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将l1代入圆M可得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+6=0，所以x1+x2=，x1x2=；…（7分）将l2代入圆N可得：（1+k2）x2+16kx+24k2=0，所以x3+x4=﹣，x3x4=．…（9分）由四边形ABCD为梯形可得，所以=，所以（1+k）2=4，解得k=1或k=﹣3（舍）．…（12分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．19.已知数列{an}的前n项和为{Sn}，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=，求数列{bn}的通项公式；（III）令cn=，求数列{cn}的前2n项和T2n．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由数列的递推式：n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化简计算即可得到所求通项公式；（Ⅱ）n=1时，求得b1=8，再将n换为n﹣1，相减可得bn=2（3n+1），检验即可得到所求通项；（III）求得cn==（﹣1）n?（n?3n+n），运用数列的求和方法：分组求和及错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和Sn=n（n+1）（n∈N*）．可得n=1时，a1=S1=2；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n，上式对n=1也成立．则an=2n，n∈N*；（Ⅱ）数列{bn}满足：an=，可得n=1时，a1=，即有b1=8，n≥2时，an﹣1=++…+，相减可得an﹣an﹣1==2，即有bn=2（3n+1），上式对n=1也成立．则bn=2（3n+1），n∈N*；（III）cn===（﹣1）n?（n?3n+n），数列{cn}的前2n项和T2n=﹣[1?3+3?33+…+（2n﹣1）?32n﹣1]+[2?32+4?34+…+2n?32n]+（﹣1+2﹣3+4﹣…﹣2n+1+2n），令Sn=1?3+3?33+…+（2n﹣1）?32n﹣1，9Sn=1?33+3?35+…+（2n﹣1）?32n+1，相减可得﹣8Sn=3+2（33+35+…+32n﹣1）﹣（2n﹣1）?32n+1=3+2?﹣（2n﹣1）?32n+1，化简可得Sn=+?32n+1，令Mn=2?32+4?34+…+2n?32n，9Mn=2?34+4?36+…+2n?32n+2，相减可得﹣8Mn=18+2（34+36+…+32n）﹣2n?32n+2=18+2?﹣2n?32n+2，化简可得Mn=+?32n+2，则T2n=﹣Sn+Mn+n=﹣+?32n+n．20.（极坐标和参数方程）以直角坐标系原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π).曲线C的极坐标方程为ρ=.

(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.

参考答案：略21.如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.（Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.参考答案：(Ⅰ)证明:∵AE=AB,

∴BE=AB,∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.---------------------------5分(Ⅱ)解:如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°,∴△AGD为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.-------------------10分略22.等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设数列{an}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{an?bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2=

即q=又由a1+2a2=1得：a1=∴an=（）n…（2）∵bn+2=3log2∴bn+2