新教材人教A版5.5.2简单的三角恒等变换(一)课件（47张）

5.5.2简单的三角恒等变换(一)必备知识·自主学习(1)公式：导思1.半角的正弦、余弦、正切公式是什么？2.半角公式的符号是由哪些因素决定的？(2)本质：①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)应用：①求值；②化简；③证明.【思考】(1)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？提示：不能.①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号.(2)半角公式对α∈R都成立吗？为什么？提示：公式对α∈R都成立，但公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z).(1)公式asinx+bcosx=sin(x+θ).(2)本质：辅助角公式实际是两角和与差的正弦、余弦公式的逆用，它能把不同名的弦函数的和差转化成同名的弦函数，进而利用三角函数的性质解决问题.(3)应用：①化简；②求值.【思考】(1)asinx+bcosx化简的步骤有哪些？(2)在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？提示：(1)①提常数，提出得到②定角度，确定一个角θ满足：cosθ=(或(sinθsinx+cosθcosx)).③化简、逆用公式得asinx+bcosx=sin(x+θ)(或asinx+bcosx=cos(x-θ)).(2)θ所在的象限由a和b的符号确定.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)()(2)存在α∈R，使得cos=cosα. ()(3)对于任意α∈R，sin=sinα都不成立. ()(4)若α是第一象限角，则tan=. ()提示：(1)×.只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z)，即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时，cos=.(2)√.当cosα=-+1时，上式成立，但一般情况下不成立.(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan=成立.2.(教材二次开发：例题改编)若cosα=，α∈(0，π)，则cos的值为()【解析】选C.因为∈，所以cos>0，cos==.3.cosα-sinα的化简结果是 ()【解析】选D.cosα-sinα=关键能力·合作学习类型一求值问题(数学运算)【题组训练】1.设5π<θ<6π，cos=a，那么sin等于 ()2.已知α∈，cosα=，则tan= ()A.3B.-3C.D.-3.已知tanα=，且α为第一象限角，则sin的值为()【解析】1.选D.若5π<θ<6π，则则2.选D.因为α∈，且cosα=，所以∈，tan=3.选C.因为tanα=，所以又sin2α+cos2α=1，所以

因为α为第一象限角，所以为第一、三象限角，且【解题策略】利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan=其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用计算.(4)下结论：结合(2)求值.【补偿训练】已知sinα=-，π<α<，求sin，cos，tan的值.【解析】因为π<α<，sinα=-，所以cosα=-，且类型二化简问题(数学运算)【典例】化简：【思路导引】利用二倍角公式及半角公式解决，注意角度的范围.【解析】原式=又因为180°<α<360°，所以90°<<180°，所以cos<0，所以原式==cosα.【解题策略】化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.【跟踪训练】化简：【解析】原式因为π<α<，所以所以cos<0，sin>0.所以原式【拓展延伸】sinαcosβ=cosαsinβ=cosαcosβ=sinαsinβ=sinθ+sinφ=sinθ-sinφ=cosθ+cosφ=cosθ-cosφ=【拓展训练】求值：sin220°+cos280°+sin20°cos80°.【解析】sin220°+cos280°+sin20°cos80°类型三恒等式的证明问题(数学运算、逻辑推理)

角度1绝对恒等式的证明

【典例】求证：【思路导引】左边切化弦，通分，变形，直至与右边相等.【证明】因为左边=所以原式成立.【变式探究】若本例变为：求证：=tanx，试证明.【证明】因为左边=所以原式成立.角度2条件恒等式的证明

【典例】已知0<α<，0<β<，且3sinβ=sin(2α+β)，4tan=1-tan2.证明：α+β=.【思路导引】结合已知条件，求α+β的某个三角函数值，进而求出角的大小.【证明】因为3sinβ=sin(2α+β)，即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)，所以3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，所以2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα，所以tan(α+β)=2tanα.又因为4tan=1-tan2

，所以tanα=所以tan(α+β)=2tanα=1.因为α+β∈，所以α+β=.【解题策略】(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一.(2)三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式.①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同.②条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.【题组训练】1.求证：2sin4x+sin22x+5cos4x-(cos4x+cos2x)=2(1+cos2x).【证明】左边=

所以原等式成立.2.已知sinβ=msin(2α+β)(m≠1)，求证：tan(α+β)=tanα.【证明】由β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α得sin[(α＋β)－α]=m·sin[(α＋β)＋α]，即sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，即(1-m)sin(α+β)cosα=(1+m)cos(α+β)sinα.两边同除以(1-m)cos(α+β)cosα，得tan(α+β)=tanα(m≠1)，即原等式成立.【补偿训练】已知sinα=Asin(α+β)，|A|>1.求证：tan(α+β)=.【证明】因为sinα=sin[(α＋β)－β]

=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，所以sinα=Asin(α+β)化为sin(α+β)cosβ-cos(α+β)·sinβ=Asin(α+β)，所以sin(α+β)(cosβ-A)=cos(α+β)sinβ，又因为|A|>1，所以tan(α+β)=课堂检测·素养达标1.已知cosα=-，<α<π，则sin等于 ()【解析】选D.因为<α<π，所以2.(教材二次开发：练习改编)已知cosθ=-(-180°<θ<-90°)，则cos= ()

【解析】选B.因为-180°<θ<-90°，所以-90°<<-45°.又cosθ=3.化简