人教版八年级上册1角的平分线的性质（24张）

角的平分线的性质（第三课时）回顾角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．题设：一个点在一个角的平分线上．结论：它到角的两边的距离相等．交换题设和结论，你能得到什么新命题？这个新命题正确吗？来看具体问题．已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）．分析：求证何来？“全等推角等”

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠POD=∠POE．即点P

在∠AOB的平分线上．证明：新的定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．（定理2）留一个思考问题：为什么会有“角的内部”这个前提？没有的话会怎样？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．（定理2）使用这个定理时这样书写：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上．“双垂等距推角分”例

如图所示，AM⊥BM于M，AN⊥BN于N，AM=AN，求证：∠BAM=∠BAN.分析：标图．如果用全等是可以证明的，可以简单试一试．“双垂等距推角分”

由定理2得∠ABM=

∠ABN．∵AM⊥BM，AN⊥BN，AM=AN，∴点B在∠MBN的平分线上，即∠ABM=∠ABN．（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）∴∠BAM=∠BAN（等角的余角相等）．积累不同证明方法．证明：分析：标图已知可推？“双垂等距推角分”，可得AD平分∠BAC．再由∠BAC得∠BAD，最后在△ADB求角．例如图，在△ABC中，∠C=36º，∠ABC=

110º，且DE⊥AB于E，DF⊥AC

于F，DE=DF．求∠ADB的度数．∵∠C=

36º，∠ABC=

110º，∴∠BAC=

180º﹣36º﹣110º

=

34º．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC

于F，DE=DF，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD=

17º．∴∠ADB=180º﹣110º﹣17º

=53º．解：基本图不变例

如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC，连AO，求证：∠1

=

∠2．分析：标图已知可推？

△ODB≌△OEC求证何来？全等？定理2更好

需要OD=

OE

∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=

∠CEO=

90°．

在△ODB和△OEC中∴△ODB≌△OEC．∴OD=OE．又OD⊥AB，OE⊥AC，∴点O在∠BOC的平分线上，即∠1=∠2．证明：例如图，D，E，F分别是△ABC的三条边上的点，BE=CF，△DBE和△DCF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．分析：标图已知可推？直接用面积要找底高

考虑作垂直

面积和一边等，则高等“双垂等距推角分”求证何来？例BE=CF，△DBE和△DCF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．∵△DBE和△DCF的面积相等，∴

BE•DM=CF•DN．又∵BE=CF，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC∴DM=DN．辅助线不变分析：标图已知可推？邻补角好找180º可以转换为等角的条件求证何来？“双垂等距推角分”作双垂，欠等距，全等推例如图，OP为∠AOB内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且∠PCO+∠PDO=180º，PC=PD．求证：OP平分∠AOB．例如图，OP为∠AOB内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且∠PCO+∠PDO=180º，PC=PD．求证：OP平分∠AOB．整理一下思路：1．作双垂2．由180º找等角，供全等用3．证明两三角形全等4．得距离等，配双垂证角等证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB．则∠PMC=∠PND=90º．∵∠PCO+∠PDO=180º，∠PCO+∠PCM=

180º，∴∠PCM=

∠PDN．在△PMC与△PND中∴△PMC≌△PND．∴PM=PN．又∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴OP平分∠AOB．3新的关注两个定理的异同（基本图，辅助线相同）．今天研究的内容2新的应用“双垂等距推角分”．1新的定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）．作业1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，A．角的内部到角的两边的距离

相等的点在角的平分线上

B．角平分线上的点到这个角两边的

距离相等

C．三角形三条角平分线的交点

到三条边的距离相等

D．以上均不正确作业作业2．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线．同学们，再见！练习

如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．分析：标图已知可推？全等较明显求证何来？定理2更好

需