动点到两定点的距离最值

4/5一动点到两定点的距离最值熊明军在学习三角形时，我们知道了三角形的三边之间有一个不等关系：“三角形的两边之和大于第三边”；“三角形的两边之差小于第三边”。借助这个三角不等式，再结合典型例题，我们可以得到一个动点到两个定点距离最值问题的研究方法与相关结论。一、典型例题的回顾【例题】已知有一段河岸相互平行的一条河，在河岸的一侧有两个村庄，如下图。现在政府为了让两个村庄用上自来水，决定出资在河岸边建一个自来水厂，并在村庄与水厂之间铺设输水管道输水，为了降低成本，就必须使铺设的管道总长度最短，那么自来水厂应该建在河岸的什么位置，用尺规作图在图中标出。【解析】假设靠近村庄的河岸为线段，村庄是两个固定的点，此题的意思就是问：在线段上有一个动点，求在线段上移动到什么位置才能使最短。结论：①直线上一动点到两个定点距离之和最小问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的两侧；②直线上一动点到两个定点距离之差最大问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的同侧。二、研究问题的理论法则一：平面上一动点到两个定点的距离之和有最小值，当且仅当在线段之间时取最小值。法则二：平面上一动点到两个定点的距离之差有最大值，当且仅当在线段的延长线上时取最大值。注意①：一动点到两定点距离最值的取得都是使动点与定点转化到一条直线上；如若不在一条直线上，就必须借助题中的条件与相关结论转化之。注意②：平面上一动点到两个定点的距离之和有最小值；距离之差有最大值。如若出现动点到两个定点的距离之和有最大值；距离之差有最小值，就必须使之转化为法则中的情况，即：距离之和最小值；距离之差最大值。【证明】（法则一）已知平面上两个动点，是平面上任意一个动点，如下图：①当动点与定点不共线时，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可知；②当动点与定点共线，且在线段的延长线上时，显然有；③当动点与定点共线，且在线段之间时，显然有；综上所述，，当且仅当动点在线段之间时取最小值。【证明】（法则二）已知平面上两个动点，是平面上任意一个动点，如下图：①当动点与定点不共线时，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”可知；②当动点与定点共线，且在线段之间时，显然有；③当动点与定点共线，且在线段的延长线上时，显然有；综上所述，，当且仅当动点在线段的延长线上时取最大值。三、典型例题的讲解①动点在直线上【例一】已知点，点是直线上的动点，求的最小值及的最大值。题中让我们求最小值，同例三，只要利用条件把转化为动点到两定点的和的形式就能求解。利用双曲线的定义把求的最小值转化成了求的最小值，利用法则二可知，当动点在线段上时，如上右图所示，有最小值。即。【例五】（动点在抛物线上）设是抛物线的焦点，是抛物线上的任一动点，已知点，求的最小值。【解析】为两定点，为动点，由法则一可知点若能在线段之间，可立即得到的最小值，在平面直角坐标中做出抛物线及相应的点，如上左图所示。在抛物线中，由定义可得动点到焦点的距离等于动点到准线的距离，即，所以。显然，当动点运动到如上右图所示的位置时，点在线段之间，即。【练习】已知为抛物线上任一动点，为圆上任一动点，