高考数热点考点题型探析：基本不等式

2010高考数学热点考点题型探析基本不等式热点考点题型探析★考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1.当积为定值时,求和最小值例1.已知且满足,求的最小值.【解题思路】利用，构造均值不等式解析：∵,,∴,当且仅当时等号成立,即,∴,又,∴∴当时,有最小值18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．题型2.当和为定值时,求积最大值例2.已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy转化成lgxy考虑．解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴≤，∴lgx+lgy=lgxy≤lg3．由解得∴当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3．【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一．题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______．【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．解法一由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2，解析2.≥．∴≥．解析3.∵a>0，b>0，∴，∴欲证≥，即证≥，只要证≥，只要证≥，即证≥，只要证a3+b3≥ab(a+b)，只要证a2+b2-ab≥ab，即证(a-b)2≥0．∵(a-b)2≥0成立，∴原不等式成立．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．【新题导练】4.已知,求证:解析：∵∴①又∵②③由①②③得∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.5.设x>0,y>0且x≠y,求证证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明只需即只需由条件,显然成立.∴原不等式成立考点3基本不等式在实际中的应用题型1.处理恒成立的有关问题例1.(2008·中山)若,且恒成立,则的最小值是________【解题思路】分离系数得令求最大值即可解析:事实上求函数的最大值,即的最大值,运用基本不等式不难得到.【名师指引】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法.题型2.处理函数应用题.例2.(2008·梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析:(1)当时,当时, ∴(2)当时,,此时,当时,取得最大值(万元);当时,此时,当时,即时,取得最大值1000万元.所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元. 【名师指引】形如函数的形式求最值时可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制,可借助函数的图像解题，必要时借助于导数.题型3.处理数列应用题例3.某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型[解析]（Ⅰ）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为==当且仅当,即n=2时,等号成立，所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.（Ⅱ）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润所以该乡到2015年底可以达到小康水平.【名师指引】本题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用.【新题导练】6.已知函数，若在（0，+）上恒成立，求的取值范围。解析：因为在（0，+）上恒成立，即∴∵的最小值为4∴解得7.（广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？解析：设使用年的年平均费用为万元则使用年的维修总费用为万元依题得-当且仅当即时取等号时取得最小值3万元答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元.★抢分频道★基础巩固训练1.设x≠0，则函数EQy=(x+\f(1,x))\s(2)-1在x=____时，y有最小值____．解：eqy=(x+\f(1,x))\s(2)-1≥3=x2+\f(1,x2)+1≥2+1=3．答案为：__±1__；32.设实数x,y满足EQEQx\s(2)+2xy-1=0，则x+y的取值范围是____．解析：eqx\s(2)+2xy+y\s(2)=y\s(2)+1≥1,即(x+y)\s(2)≥1所以x+y≥1或x+y≤-1．答案为(-∞,-1]∪[1,+∞)_3.（广东省梅州、揭阳两市四校2008届高三第三次联考）设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为解析：由可化为xy=8+x+y,x，y均为正实数xy=8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy-2-8可解得,即xy16故xy的最小值为16。4.半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为 （）C A．8 B．16 C．32 D．64解析：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64． ≤=．等号当且仅当取得，所以的最大值为32，选C．5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?解析：由已知y1=；y2=0.8x(x为仓库与车站距离)费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2=8当且仅当0.8x=即x=5时“=”成立答：5公里处综合拔高训练BACD地面6.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？BACD地面解析：设 连结BD. 则在中， 设 则 等号成立时 答：当时，建造这个支架的成本最低.7.已知的单调区间； （2）若2）首先证明任意事实上8.（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列，试求：（1）（2）邮政车从第k站出