专题08二项式定理及其应用（精讲）（原卷版）

专题08二项式定理及其应用知识归纳知识归纳1.二项式定理（1）二项式定理：（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn（2）通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示第k＋1（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn提醒（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2.二项式系数的性质3.若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则：（1）h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；（2）h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；（3）h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；（4）h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.4.两个常用公式（1）Cn0＋Cn1＋Cn（2）Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1题型归纳题型归纳题型一二项式中的特定项及系数问题题型二二项式系数的性质与各项系数的和（一）二项式系数和问题（二）二项展开式中的系数和问题（三）二项式系数的最值问题（四）展开式系数最大项题型三多项式展开式中特定项（系数）问题几个多项式和展开式中特定项（系数）问题几个多项式积展开式中特定项（系数）问题三项式展开式中特定项（系数）问题题型四杨辉三角及其应用题型五二项式应用题型分类题型分类题型一二项式中的特定项及系数问题例1．（2023春·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知的二项展开式中常数项为__________．（用数字作答）例2．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）二项式展开式中的第三项为___________．例3．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）的展开式共有七项，且常数项为20，则（

）A．1 B． C．2 D．例4．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）设，则__________.（用数值作答）【方法小结】求二项展开式中特定项的步骤题型二二项式系数的性质与各项系数的和（一）二项式系数和问题例5．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）例6．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数最大的项________．例7．【多选】（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（

）A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大C．存在常数项 D．有理项共有6项例8．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知，.(1)若的展开式中，二项式系数之和是，求展开式中的第项；(2)若的展开式中，二项式系数最大的项仅是第项，求展开式中的常数项（二）二项展开式中的系数和问题9．【多选】（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）在的展开式中，下列说法正确的有（

）A．所有项的二项式系数和为256 B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共4项例10．（2022春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）已知．求：(1)；(2)；(3)．例11．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在二项式的展开式中，(1)若，求展开式中的有理项；(2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；②二项展开式中的各项的系数之和．例12．（2023秋·安徽亳州·高二安徽省涡阳第一中学校考期末）已知，下列命题中，不正确的是（

）A．展开式中所有项的二项式系数的和为B．展开式中所有偶数项系数的和为C．展开式中所有奇数项系数的和为D．【方法小结】赋值法的应用（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f(1)+f(-1)2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a（三）二项式系数的最值问题例13．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________.例14．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________例15．（2022秋·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考期末）已知在的展开式中，前项的系数分别为、、，且满足，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项；(2)展开式中所有有理项．例16．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（

）A． B． C． D．【方法小结】求二项式系数最大项（1）如果n是偶数，那么中间一项第n2（2）如果n是奇数，那么中间两项第n+1（四）展开式最大项例17．（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）在的二项展开式中，系数最大的项为______.例18．【多选】（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（

）A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为例19．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考期末）设，若，则展开式中系数最大的项是（

）A． B． C． D．例20．（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为．(1)求n的值及展开式中的常数项是第几项；(2)展开式中系数最大的项是第几项？【方法小结】求展开式系数最大项求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥A题型三多项式展开式中特定项（系数）问题（一）几个多项式和展开式中特定项（系数）例21．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）若的展开式中含有项的系数为18，则（

）A．2 B． C．或 D．或例22．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）若，则_________.例23．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）已知，则______.【方法小结】对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）（二）几个多项式积展开式中特定项（系数）问题例24．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）二项式的常数项为____________．例25．（2023秋·山西太原·高三统考期末）的展开式中常数项为_________．（用数字作答）例26．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）的展开式中的系数是__________.例27．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知的展开式中的系数为，则实数a的值是________.【方法小结】求几个多项式积展开式中特定项（系数）的方法（三）三项式展开式中特定项（系数）问题例28．（2023秋·广东·高三统考期末）的展开式中含的项的系数为（

）A． B．60 C． D．30例29．（2023秋·浙江·高三校联考期末）的展开式中x的系数为________．（用数字作答）例30．（2022秋·河南·高三校联考期末）展开式中的系数为______．（答案用数字作答）例31．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）在的展开式中，项的系数为______.例32．（2019秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知，则___________，___________.【方法小结】求三项展开式中特定项（系数）的方法题型四杨辉三角及其应用例33．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第k（，）个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k斜列与第斜列各项之和最大时，k的值为（

）第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1A．1009 B．1010 C．1011 D．1012例34．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第______行．例35．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则______（结果用数字作答）．题型