2022-2023学年福建省南平市建瓯玉山中学高二数学理摸底试卷含解析

2022-2023学年福建省南平市建瓯玉山中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2上 B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=2内 D．以上三种情形都有可能参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=﹣、x1x2=﹣，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c=0的两个实根，∴由韦达定理：x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=＜2，∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．故选：C．2.已知f(x)＝x3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有()A．1条B．2条

C．多于两条

D．以上都不对参考答案：B3.在长为10cm的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36πcm2到64πcm2的概率是（

）A． B． C． D．参考答案：A考点：几何概型试题解析：圆的面积介于36πcm2到64πcm2所以圆的半径介于6到8之间，所以故答案为：A4.设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知双曲线与圆交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．【解答】解：联立双曲线方程和圆x2+y2=c2，解得，x2=c2﹣，y2=，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，即为c2﹣=，即c4=2b4，即c2=b2=（c2﹣a2），则e===．故选：A．6.设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝()A．2

B.C．4

D．2参考答案：D根据已知△PF1F2是直角三角形，向量＋＝2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.·＝0，则|＋|＝2||＝||＝2.

7.把15个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（

）A.18 B.28 C.38 D.42参考答案：B【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3.个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法；故选B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将个球放入个盒子的问题，属于基础题．8.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有()．A．1个

B．2个C．3个

D．4个参考答案：A略9.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()．参考答案：A略10.三点（3,10），(7,20)，(11,24)线性的回归方程是

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列的前三项依次为，，，则

．参考答案：12.比较大小：

*

（用“”或“”符号填空）.参考答案：>略13.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．14.若关于的不等式至少一个负数解，则实数的取值范围是

参考答案：略15.球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积是．参考答案：【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由球的正方体的表面积求出球的半径，然后求体积．【解答】解：因为球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则正方体的棱长为4，正方体的体对角线为4，所以球O的半径是2，体积是=32．故答案为：32π；【点评】本题考查了球的内接正方体的与球的几何关系；关键是求出球的半径，利用公式求体积．16.过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1]【考点】圆的切线方程．【分析】由，得≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．【解答】解：∵，∴≥，∴OM≤2，∴3+y02≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：[﹣1，1]．17.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为_________.参考答案：设右焦点为F′，则

∵，

∴，

∴E是PF的中点，

∴PF′=2OE=a，

∴PF=3a，

∵OE⊥PF，

∴PF′⊥PF，

∴（3a）2+a2=4c2，

∴.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0}，其中a为常数，且a∈R．①若A是空集，求a的范围；②若A中只有一个元素，求a的值；③若A中至多只有一个元素，求a的范围．参考答案：【考点】集合中元素个数的最值．【专题】计算题；集合．【分析】①A为空集，表示方程ax2﹣3x+2=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．②若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．③若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由①②的结论，将①②中a的取值并进来即可得到答案．【解答】解：①若A是空集，则方程ax2﹣3x+2=0无解此时△=9﹣8a＜0，即a＞②若A中只有一个元素，则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根当a=0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时△=9﹣8a=0，解得：a=∴a=0或a=；③若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由①②得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥．【点评】本题考查的知识点是集合元素的确定性及方程根的个数的判断及确定，同时考查了转化的思想，属于基础题．根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2=0根的情况，是解答本题的关键．19.（本小题满分12分）已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且.（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．参考答案：（1）∵，且边通过点，∴直线的方程为．设两点坐标分别为．由，得．…3分∴．又边上的高等于原点到直线的距离．∴，．（2）设所在直线的方程为，由得．因为A,B在椭圆上，所以．设两点坐标分别为，则，，所以．又因为的长等于点到直线的距离，即．所以．所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为．略20.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）求锐二面角E﹣BD﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD，AE，推导出BD⊥AC，EC⊥BD，由此能证明BD⊥AE．（2）连接AC1，设AC1∩B1D=G，连接GE，则AC∥GE，由此能证明AC∥平面B1DE．（3）连结DE、BE，取BD中点O，连结EO，CO，则EO⊥BD，CO⊥BD，∠EOC是二面角E﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）连接BD，AE，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵E是棱CC1的中点，∴EC⊥底面ABCD，∵BD?面ABCD，∴EC⊥BD，又EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC，∵AE?平面AEC，∴BD⊥AE．（2）连接AC1，设AC1∩B1D=G，连接GE，则G为AC1中点，而E为C1C的中点，∴GE为三角形ACC1的中位线，∴AC∥GE，∵GE?平面B1DE，AC?平面B1DE，∴AC∥平面B1DE．解：（3）连结DE、BE，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则CE=1，DE=BE==，