安徽省安庆市沈冲中学2022年高三数学理期末试题含解析

安徽省安庆市沈冲中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是虚数单位,复数=（

）A． B． C． D．

参考答案：A略2.已知函数，则它们的图象可能是参考答案：

因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选3.对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为，其中，若一个99项的数列的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为（

）A．991

B.992

C.993

D.999参考答案：A4.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略5.复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin2x B．y=xcosx C．y=

D．y=|x|参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义，即可得出结论．【解答】解：对于A，D，满足f（﹣x）=f（x），函数是偶函数；对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数；对于C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数．故选B．7.已知集合则等于(A){0,1,2,6}(B){3,7,8,}(C){1,3,}

(D){1,3,6,7,8}参考答案：C略8.已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（

）A.

B.C.

D.参考答案：A,的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于，，，,，，则，，选

9.设直线与的方程分别为与，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B10.已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为(

)A. B.- C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的首项a1=1，若an+1=an+1，n∈N*，则a3=

，a1+a2+…+a9=

．参考答案：3；45．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}的首项a1=1，an+1=an+1，n∈N*，∴数列{an}是首项a1=1，公差为1的等差数列．∴an=1+（n﹣1）=n．∴a3=3，a1+a2+…+a9=S9==45．故答案分别为：3；45．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.若函数对定义域的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①是“依赖函数”；②（）是“依赖函数”；③是“依赖函数”；④是“依赖函数”；⑤，都是“依赖函数”，且定义域相同，则是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_____________．参考答案：②③略13.如上图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α=60°，在塔底C处

测得A处的俯角为β=45°，已知铁塔BC部分的高为米，山高CD=

米．参考答案：18+6【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】设AD=x，则根据∠CAD和∠BAD可以计算CD和BD的值，根据BC=BD﹣CD即可求得x的值，即可解题．【解答】解：设AD=x，则CD=AD?tan45°=AD=x，BD=AD?tan60°=x，∴BC=（﹣1）x=12，∴x==18+6（米）故答案为：18+6．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的运用，易错点是错误运用特殊角的三角函数值．本题中计算特殊角的三角函数值是解题的关键．14.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”（点对(P、Q)与点对(Q、P)看作同一个“友好点对”）.已知函数，则f(x)的“友好点对”的个数是

．参考答案：215.函数图象的一条对称轴是，则的值是

．参考答案：∵函数图象的一条对称轴是，∴即，又∴故答案为：

16.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则_________．参考答案：1028略17.若两曲线与存在公切线,则正实数的取值范围是

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．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

（12分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线AF1的距离为

（I）求椭圆C的方程；

（II）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点，交y轴于点M，若的斜率。参考答案：解析：（I）由题设知由于故AF1所在直线方程为

…………2分所以坐标原点O到直线AF的距离为又解得：a=2所以椭圆的方程为

…………5分

（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k直线l的方程为

…………7分设，由于Q、F、M三点共线，且根据题意得解得

…………10分又Q在椭圆C上，故解得综上，直线l的斜率为0或±4。

…………2分19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.（I）求椭圆的方程；（II）坐标原点为，且满足，(i)求的取值范围；(ii)求的面积.参考答案：（I）由已知，于是

所以椭圆的方程为

…………3分

（II）设直线AB的方程为，设联立，得

----------①

…………6分

∵

……7分

=

……8分

……9分

又直线AB的斜率不存在时，所以的取值范围是.…11分

(ii)设原点到直线AB的距离为d，则.

……14分

20.(本小题满分12分)已知△ABC三边为三边所对角为A，B，C，满足(1)求角A.

(2)若,求△ABC的周长的取值范围参考答案：【知识点】余弦定理；正弦定理．C8

【答案解析】（1）A=，或A=（2）3或1+．解析：（1）等腰三角形△ABC中，∵bcosC+ccosB=R，则由正弦定理可得sinBcosC+cosBsinC=，即sin（B+C）==sinA，∴sinA=，∴A=，或A=．（2）∵a=1，当A=时，△ABC为等边三角形，此时三角形的周长为3；当A=时，B=C=，由a=1利用正弦定理可得=，即=，b==c，此时，三角形的周长为1+．综上可得，三角形的周长为3或1+．【思路点拨】（1）等腰三角形△ABC中，由条件正弦定理、诱导公式求得sinA=，可得A的值．（2）由a=1，可得当A=时，△ABC为等边三角形，求得此时三角形的周长为3；当A=时，利用正弦定理求得b、c的值，可得三角形的周长，综合可得结论．21.如图，在四棱锥中，，，，平面平面，．和分别是和的中点．求证：（I）底面．（II）平面平面．参考答案：见解析（I）证明：∵平面平面，平面平面，且，平面，∴底面．（II）证明：∵，，是的中点，∴，∴为平行四边形，∴，又∵，∴，，由（）知，底面，∴，∴平面，∴，∵，分别是和的中点，∴，∴，∴平面，∴平面平面．22.设函数，其中t，．⑴若，，求曲线在点处的切线方程；⑵若，求的极值；⑶若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数m的取值范围．参考答案：（1）函数，，时，，，，，-----------------------------------------2分∴在点处的切线方程为；-----------------------------------------3分（2）当时，，，-----------------------------------------4分令，解得或；当变化时，，的变化情况如下表；（﹣∞，）（t2﹣，t2+）（，+∞）+0﹣0+单调增极大值单调减极小值单调增----------------------------------------6分∴的极大值为，极小值为；-----------------------------------------8分（3）令，可得；设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个不同的零点；-----------------------------------------9分又，当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意；----------------10分当时，令，解得，；∴在上单调递增，在上单调递减，在上也单调递增；∴的极大值为；极小值为；----------------------------