平行四边形经典题型(培优提高)

平行四边形经典题型(培优提高)

使它成为中心对称图形，并画出对称中心．中心对称与平行四边形的判定中心对称图形的定义是指，将一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点就是它的对称中心。中心对称与中心对称图形的区别在于，中心对称是指两个全等图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。它的两个部分是全等的。常见的中心对称图形有矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、边数为偶数的正多边形和某些规则图形等。正偶边形是中心对称图形，而正奇边形不是中心对称图形，如正三角形和等腰梯形。平行四边形的性质包括两组对边相等、两组对角相等以及对角线互分平分。平行四边形的判定有四个定理，分别是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形以及两组对角分别相等的四边形是平行四边形。三角形的中位线定理是指，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。逆定理1是在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线，而逆定理2是在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。练习题：1.平行四边形是既是中心对称图形，又是轴对称图形的图形。2.正三角形不是中心对称图形。3.平行四边形是既是轴对称图形又是中心对称图形的图形。4.在三个相同的小正方形拼成的图形中，添加一个同样大小的小正方形，使它成为中心对称图形，并画出对称中心。第五节：平行四边形的判定例1：判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图。①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。(错误)②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形。(正确)③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．(错误)④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(正确)⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。(错误)⑥相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。(正确)⑦对角互补的四边形是平行四边形。(错误)⑧一条对角线分四边形为两个全等三角形，这个四边形是平行四边形。(正确)⑨两条对角线相等的四边形是平行四边形。(错误)例2：如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？答：是平行四边形。因为MN∥AB，且MN=AB/2，所以MN=GP。同理可得，MN=GN。所以四边形MGNP是平行四边形。变式1：□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF，求证：FM=NE，ME=NF。答：连接EF，交AC、BD于点G、H。由题可知，AE=CF，所以△AEG≌△CFH，AG=CH。又因为AG=2GM，CH=2HN，所以GM=HN，即MN∥EF。又因为ME=NE，所以四边形MNEF是平行四边形。同理可得，四边形MNFH也是平行四边形。所以FM=NE，ME=NF。课堂练习：1.点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB=CD，（2）AB∥CD，（3）BC=AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（B．4种）。2.如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，因为OG=GH，OE=EF/2，所以ME=NF，同理可得，四边形MNEF是平行四边形。3.如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，__秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形。答：由题可知，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。设QP与AB的交点为E，与CD的交点为F，则四边形EQPF是平行四边形。设QP与AD的交点为G，与BC的交点为H，则GH=2BG，所以GH=12cm。设QP与EF的交点为M，则ME=MG=1/3QP，NF=NG=2/3QP。所以四边形MNEF是平行四边形。4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论中成立的是③△ADE为等腰三角形。因为BC∥DE，所以△ABC≌△DEG，所以DG=3，EG=4。因为DEF平移了2.5个单位，所以DF=2.5，所以AE=5.5。由勾股定理可得，DE=√(DG²+EG²)=5。所以△ADE为等腰三角形。5.在平面直角坐标系XOY中，已知点A（3，2）、B（-1，-4），P为X轴上的一点，Q为Y轴上的一点，且以点A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形。求点Q的坐标。解析：因为以点A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，所以向量AB=向量PQ，即(3-(-1),2-(-4))=(x,0)。解得x=4，所以Q的坐标为(0,4)。6.如图1、图2所示，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC边上的两个动点（与点A、B、C不重合），始终保持BD=CE。（1）当点D、E运动到如图1所示的位置时，证明CD=AE。（2）把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF的位置（如图2），分别连接DF、EF。①找出图中所有的等边三角形（△ABC除外），并对其中一个给予证明；②判断四边形CDFE的形状，并说明理由。解析：（1）如图1所示，连接AC，因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，又因为BD=CE，所以AD=AE，所以△ACD和△ABE是全等三角形，因此CD=AE。（2）①图中所有的等边三角形有△ABC、△ACE、△ADF、△BDE、△BEF。②四边形CDFE是菱形，因为CD=AE（已证明），且∠CED=∠BDC=∠BDE（因为BD=CE），所以△CED和△BDC是全等三角形，所以∠ECD=∠BDC，又因为∠ACE=∠ABD=60°，所以∠ECF=∠ABF=120°，所以四边形CDFE的对角线互相垂直，且长度相等，因此是菱形。7.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，证明四边形PAQR是平行四边形。解析：连接AP、AQ，因为BP=AP，CQ=AQ，所以BP=CQ，又因为BP∥CQ，所以BPQC是平行四边形，所以BPQC的对角线互相平分，所以AP=QC，AQ=BP，所以PAQR是平行四边形。8.等边三角形ABC的边长为a，P为△ABC内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，求PD+PE+PF的值，并说明这个定值的来历。解析：连接AD、BE、CF，如图所示。因为△ABC是等边三角形，所以AD、BE、CF都是三角形的中线，所以AD=BE=CF=a/2。又因为PD∥AB，所以△PDA和△ABC相似，所以PD/AB=AD/AC，即PD=a/2×AD/AC，同理可得PE=a/2×BE/BA，PF=a/2×CF/CB，所以PD+PE+PF=a/2×(AD/AC+BE/BA+CF/CB)。因为AD=BE=CF=a/2，所以PD+PE+PF=a/2×(1/AC+1/BA+1/CB)。这个定值叫做三角形的费马点的质心坐标，表示为(a/3,a/3)。费马点是指平面上到三角形三个顶点距离之和最小的点，也称为最小和点。费马点的质心坐标可以通过三角形三个顶点坐标求解得到。9.如图所示，M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点，且MN∥BD。证明△AND的面积等于△ABM的面积，并说明理由。解析：连接AN、BM，如图所示。因为MN∥BD，所以△ANM和△BDM相似，所以AN/BD=MN/DM，即AN/BC=MN/CD，所以AN=BC×MN/CD。同理可得BM=AB×MN/BC。因为ABCD是平行四边形，所以BC=AD，CD=AB，所以AN=AD×MN/AB，BM=AB×MN/BC。因为MN∥BD，所以∠AMB=∠AND，所以△ANM和△BMA相似，所以AM/AN=BM/MN，即AM/AD=BM/BC，所以AM+BM=AB。所以△AND和△ABM的高分别为AN、BM，底边分别为AD、AB，且底边长度相等，所以它们的面积相等。10.如图，某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，这村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状。请问这村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由。解析：这个设想不能实现。因为四边形ABCD的面积等于四个三角形的面积之和，即S△ABD+S△BCD+S△CDA+S△ABC。如果要使池塘面积扩大一倍，就要使四个三角形的面积之和扩大一倍。但是，核桃树不动，所以四边形ABCD的周长不变，即AB+BC+CD+DA不变，所以△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的高都不变，所以它们的面积也不变，所以无法使四个三角形的面积之和扩大一倍，因此不能实现这一设想。B．线段EF的长度逐渐增加。C．线段EF的长度不变。D．线段EF的长度与点P的位置有关。3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（）A.2:1B.3:1C.3:2D.4:34.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG等于（）A.47°B.46°C.11.5°D.23°5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）A.28B.32C.18D.256.如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的长度为（）A.20cmB.16cmC.12cmD.8cm7.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm²，则阴影部分的面积为_________cm²。（删除明显有问题的段落）8.如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点。求证：（1）DE∥BC；（2）∠AED=∠BDC。（删除明显有问题的段落）9.如图，已知四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，M、N分别交BD、AC于E、F。求证：△OEF是等腰三角形。（删除明显有问题的段落）10.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。求证：∠DEN=∠F。（删除明显有问题的段落）课下练习1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.平行四边形B.正八边形C.等腰梯形D.等边三角形2.下面的说法中，正确的是（）C.一组对边平行的四边形是平行四边形3.根据下列条件，能作出平行四边形的是（）B.相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为94.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N。求S△DMN：S四边形ANME的比值。5.如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点。当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论中成立的是（）。A.线段EF的长度逐渐增大B.线段EF的长度逐渐减小C.线段EF的长度不改变D.线段EF的长度不能确定6.如图，A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点……这样延续下去。已知△ABC的周长为1，△A1B1C1的周长为L1，△ABC的周长为L2……AnBnCn的周长为Ln，则Ln=_________。7.如图，在△ABC中，AB=AC。M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米。8.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动。当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止。已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x/2cm。（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形。9.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点。证明：MN∥AD。10.（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N。求线段FG与△ABC的周长之间的数量关系。（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间的数量关系是什么？请给出猜想并证明。根据图示，假设BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线。我们需要猜测线段FG与△ABC三边之间的数量关系，不需要