高中数学-椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE5PAGE椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计【教学目标】1.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用．2.通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力．【教学重点与难点】重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．难点：椭圆标准方程的推导与化简．【教学手段】运用多媒体和实物投影仪等辅助教学．【教学过程】一、创设情景、引入概念首先用多媒体演示地球绕太阳旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图．问一:地球绕太阳旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）此外老师可以指出，在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子．教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的．（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．）二、尝试探究、形成概念引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征．学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究．（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？）（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念．）启发、归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距引导学生找定义的关键处：①平面曲线；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|．（说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．）三、标准方程的推导由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系设点列出方程化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．（说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．）问二:怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则──利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）经学生讨论易得如下方案：1．建系．取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立坐标系．2．设点．设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则．又设M与距离之和等于()．3．列式．依据椭圆的定义，有．，，．教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法．（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而失败．在此应抓住机会加强运算技能的训练．）4．化简．通过移项,两次平方后得到：，两边同除以，得．（※）由椭圆的定义可知，,即，思考：观察下图，能从中找出表示的线段吗？由图可知，．令，那么（※）就是．（）此即为椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程．问三：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，a，b，c意义同上，椭圆的方程形式又如何？学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成,只要将方程中的调换，即可得（），它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准方程．要求学生课后推导验证．（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程．）引导学生注意理解以下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；②在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．四、例题讲解例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点QUOTE(52,-32),求它的标准方程（先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．由椭圆的定义知c=2,,所以,所以,所以,所求椭圆的标准方程为D例2如图，在圆的QUOTEx2+y2=4x2D（先让学生分析解题思路．寻求点M的坐标中与点P的之间的关系,然后消去,得到点M的轨迹方程.这是解析几何中求点的轨迹方程常用的相关点法.还要注意引导学生分析例1与例2的不同点．）解：设点M的坐标为,点P的坐标为,则点D的坐标为.由点M是线段PD的中点,得因为点P在圆上,所以①把代入方程①,得,即所以点M的轨迹是椭圆.（说明：由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法：其一由定义求出与，根据条件写出方程；其二是由点与点之间的关系求椭圆标准方程，利用相关点法求出方程．可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的．另外要注意求方程的基本步骤．）五、课堂练习，即时反馈1.如果椭圆QUOTEx2100+y236=1上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)QUOTEa=4,b=1,焦点在x轴上；(2)QUOTEa=4,b=15,焦点在y轴上；(3).QUOTEa+b=10,c=253.已知A，B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率的商是２，点M的轨迹是什么？为什么？六、知识整理，形成系统（由学生归纳）1．椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）．2．推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接法求轨迹方程）．3．求椭圆方程的方法（定义法、待定系数法求轨迹方程、相关点法求轨迹方程）．七、布置作业，巩固提高1．课本P109第3题．2．小组合作，解决课本P115第1题，P116第11题.3．探索题：结合课本P115第6题,利用信息技术手段,探索椭圆的不同几何作法.3.1.1椭圆及其标准方程学情分析在学习本节课之前,学生刚刚学习了直线与圆的方程,对曲线和方程的概念有了一定的了解,对用坐标法研究几何性质问题也有了初步的认识.因此,我们可以充分相信:在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹的知识基础和学习能力.学生对椭圆图形有了一些实物实例的认识,对椭圆的简单的图像性质有了一些简单的认识,在学生头脑中虽然有一些椭圆的实物实例,但是没有上升到“概念”的水平,因此学生渴望通过探究来掌握椭圆的有关知识,有强烈的探索欲和求知欲,因此学生能在老师的引导下展开学习活动.但是由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度也较浅.但是我所教的班级学生数学成绩较好,学生的基础和接受能力相对于其他班级学生较强一点,在学习过程中遇到困难的可能性较小一些.但考虑到从研究直线与圆的方程,跨度较大,学生在思维上也会存在一些障碍.因此在探究的过程中应加强引导,细化步骤的问题,做好知识的铺垫.本节课在求椭圆的标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,通过课前进行化简比较复杂根式的专项练习,为学生自主学习本课扫清障碍.本节课按学生思维的方式,由易到难组织教学,培养学生观察、比较、分析概括的能力，在进一步培养学生数形结合和化归的数学思想的过程中，提高学生的自主学习能力.3.1.1椭圆及其标准方程效果分析本节课采用启发式与探究式相结合的教学方式,遵循学生的认知规律,以学生的全面发展为本,面向全体学生,使学习过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，并灵活应用“创设情境，激发情意”、“全身活动，心灵体验”、“及时反馈，促进同化”的“贯穿要素”，同时借助于多媒体的合理运用，通过学生的动手操作、分组讨论、合作探究以及学生之间、师生之间的多向交流，在学习中着眼于培养学生良好的认知结构，注意适应学生的思维水平，积极促进其思维的发展.使学生始终处于思维活跃状态，使三维学习目标得以比较顺利地实现，同时重视学生的学习经历和经验，强调学生积极主动地学习.让学生获得基础知识、基本技能的过程成为学会学习的过程,促进学生全面发展.从而较好地突出了重点,突破了难点,抓住了关键.本节课面向全体学生,切实改进了学生的学习方式,做到学生在老师引导下有效学习,使学生会学习,乐于学习,为终身学习打下基础.3.1.1椭圆及其标准方程教材分析本节课是《普通高中教科书QUOTE∙∙数学》(人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心编著)A版选择性必修第一册第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时.在选择性必修一第三章,教材利用三种曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题.本节课是圆锥曲线的第一课时,它是学生在学习了第二章直线与圆的方程的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线.由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本方法和理论基础.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实践，同时它也是进一步研究椭圆的几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上说，椭圆放在三种曲线之首，则是它的重要性就尤其突出.因此《椭圆及其标准方程》起到了承上启下的作用.本节课的学习具有非常重要的地位,是本章和本届的重点内容.3.1.1椭圆及其标准方程评测练习1.如果椭圆QUOTEx2100+y236=1上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是设计意图:考查学生对椭圆定义的理解和掌握水平.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)QUOTEa=4,b=1,焦点在x轴上；(2)QUOTEa=4,b=15,焦点在y轴上；(3).QUOTEa+b=10,c=25设计意图:考查学生对椭圆标准方程的理解和掌握水平,以及分类讨论的数学思想.3.已知A，B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率的商是２，点M的轨迹是什么？为什么？设计意图:考查学生对轨迹方程的掌握情况以及思维的严谨性.3.1.1椭圆及其标准方程课后反思本节课,通过对椭圆的认识及其方程的推导,培养了学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强了用坐标法解决圆锥曲线问题的能力.通过焦点在x轴和焦点在y轴上椭圆方程的对比总结,不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解,有助于学习目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后面双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.在教学过程中采用启发、探究相结合的教学方法,通过设置问题引导学生观察分析,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,极大的激发了学生的积极性和创造性.在设计例题、习题时主要是放在了强化学生能用椭圆的定义来解决问题的意识和能力，更好的调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力.通过例1,例2的学习是学生认识到求点的轨迹方程的多种方法.通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生的探索精神。但是本节课课堂容量较大，要注意课堂的节奏，在时间的把握上，全体学生的关注上，小组合作代表发言上，考虑的不够周全细致，今后还应该不断优化课堂教学行为.在今后的教学工作中,需要不断反思、总结，在总结反思中不断提升自己的教学水平.通过本次讲课我也真正感觉到:学无止境,教无止境.3.1.1椭圆及其标准方程课标分析知识目标掌握椭圆的定义和标准方程;明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆的标准方程及其推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的数学运算能力.学会椭圆及其标准方程的初步应用,掌握椭圆的焦点在x轴与y轴上的椭圆的区别;能根据椭圆标准方程求焦距和焦点;初步掌握求椭圆标准方程的方法;解决有关椭圆的实际问题，发展数学建模的素养；理解字母a,b,c的几何意义.能力目标经历椭圆概念的产生过程,学习从具体实例中提炼数学概念的方法,由形象到抽象,从具体到一般,掌握数学概念的数学本质,提高学生的、直观想象、归纳概括、抽象思维能力.通过让学生积极参与、亲身经历椭圆标准方程的获得过程;体验坐标法在处理几何问题中的优越性,提高运用坐标法解决几何问题的能力及数学运算能力.对学生进行数学思想方法的渗透,感悟联想、类比数形结合、分类讨论、转化的数学思想方法，培养学生利用数学思想方法分析和解决问题的