下学期九年级第二讲圆二

第二讲圆（二）虹口区教师进修学院朱丽霞【知识框架】圆的有关性质直线与圆的位置关系圆圆与圆的位置关系正多边形与圆关系【知识框架】直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系Od相离如果圆的半径是r，圆心到直线的距离为d，①相离

d>r；【知识框架】直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系Od相切如果圆的半径是r，圆心到直线的距离为d，①相离

d>r；②相切

d=r；【知识框架】直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系Od相交如果圆的半径是r，圆心到直线的距离为d，①相离

d>r；②相切

d=r；③相交

d<r；相离相切相交【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系Od相切经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。圆的切线判定定理【知识框架】相离圆的切线判定定理直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系d外离O1RO2r相离相切相交如果圆心距为d两圆半径是R、r，(R>r)①外离

d

>R+r；【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系d外切O1RO2r相离相切相交①外离

d

>R+r；②外切

d

=R+r；圆的切线判定定理如果圆心距为d两圆半径是R、r，【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系d相交O1RO2r相离相切相交圆的切线判定定理如果圆心距为d两圆半径是R、r，①外离

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；O1O2【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系Rd

r内切相离相切相交①外离

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④内切

d

=∣R-r∣；圆的切线判定定理如果圆心距为d两圆半径是R、r，OO1

2【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系Rd

r内含相离相切相交①外离

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④内切

d

=∣R-r∣；⑤内含

0≤d

<

∣R-r∣

；圆的切线判定定理如果圆心距为d两圆半径是R、r，OO1

2【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系Rd

r内含相离相切相交①外离

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④内切

d

=∣R-r∣；⑤内含

0≤d

<

∣R-r∣

；d=0时，同心圆圆的切线判定定理如果圆心距为d两圆半径是R、r，OO1

2【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系Rd

r内含相离相切相交①外离

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④内切

d

=∣R-r∣；⑤内含

0≤d

<

∣R-r∣

；d=0时，同心圆外

内离

含外

内切

切圆的切线判定定理【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系相离相切相交外

内离

含外

内切

切两圆连心线的性质O1O2相切两圆的连心线经过切点。P外切O1O2P内切圆的切线判定定理【知识框架】相离直线与圆的位置关系相切相交圆与圆的位置关系相离相切相交外

内离

含外

内切

切两圆连心线的性质相切两圆的连心线经过切点。相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。O1O2BA圆的切线判定定理例1（1）下列说法中，正确的是

（

）

A．圆心到和圆有两个公共点的直线的距离小于圆的半径

B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l和圆有一个公共点C．圆的切线只有一条

D．圆心到线段的距离小于半径，那么线段与圆有两个交点【典型例题讲解】

【基础题】例1（1）下列说法中，正确的是

（

）A．圆心到和圆有两个公共点的直线的距离小于圆的半径B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l和圆有一个公共点C．圆的切线只有一条D．圆心到线段的距离小于半径，那么线段与圆有两个交点正确，和圆有两个公共点的直线与圆的位

置关系是相交，因此圆心到直

线的距离小于

圆的半径。例1（1）下列说法中，正确的是

（的直线的距A．圆心到和圆有两个公共点

离小于圆的半径

B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l和圆有一个公共点C．圆的切线只有一条D．圆心到线段的距离小于半错径误，

么线段与圆有两个交点圆心到直线l之间的距离等于半径，那么直线与圆相切，ABl垂线段的）长度注意：点到直线的距离O例1（1）下列说法中，正确的是

（的直线的距OA因为直线l上一点到圆心的距离等于半径，此时l和圆有一个或两个公共点A．圆心到和圆有两个公共点

离小于圆的半径

B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l和圆有一个公共点C．圆的切线只有一条D．圆心到线段的距离小于半错径误，

么线段与圆有两个交点圆心到直线l之间的距离等于半径，那么直线与圆相切.注意：点到直线的距离与B垂线段的）长度l直线上的点到点的距离的区别OPl经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。例1（1）下列说法中，正确的是

（

）A．圆心到和圆有两个公共点的直线的距离小于圆的半径

B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l和圆有一个公共点

C．圆的切线只有一条

D．圆心到线段的距离小于半径，那么线段与圆有两个交点错误，圆的切线可以有无数条。例1（1）下列说法中，正确的是

（

）A．圆心到和圆有两个公共点的直线的距离小于圆的半径

B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l和圆有一个公共点

C．圆的切线只有一条

D．圆心到线段的距离小于半径，那么线段与圆有两个交点错误，圆心到直线的距离小于半径，那么直线与圆有两个交点；圆心到线段的距离小于半径，那么线段与圆有一个或两个交点或没有交点。例1（1）下列说法中，正确的是

（

）OABA．圆心到和圆有两个公共点的直线的距离小于圆的半径

B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l和圆有一个公共点

C．圆的切线只有一条

D．圆心到线段的距离小于半径，那么线段与圆有两个交点错误，圆心到直线的距离小于半径，那么直线与圆有两个交点；【说明】相离相切相交图形OdO

dO

dd与r的关系d>rd=rd<r公共点个数012公共点名称切点交点直线的名称切线割线（拓展2）例1（2）下列说法中，正确的是

(

)A．若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线

B．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线

C．和半径垂直的直线是圆的切线

D．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。例1（2）下列说法中，正确的是

(

)A．若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线

B．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线

C．和半径垂直的直线是圆的切线

D．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。错误，要强调有唯一公共点例1（2）下列说法中，正确的是

(

)A．若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线

B．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线

C．和半径垂直的直线是圆的切线

D．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。错误，半径的外端例1（2）下列说法中，正确的是

(

)A．若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线

B．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线

C．和半径垂直的直线是圆的切线

D．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。错误，要加一个条件：经过半径的外端例1（2）下列说法中，正确的是

(

)A．若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线

B．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线

C．和半径垂直的直线是圆的切线

D．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。正确【说明】●切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；●切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。例1（3）下列说法中，正确的是

(

)A．没有公共点的两圆叫做两圆外离

B．相切两圆的圆心必经过切点

C．相交两圆的交点关于连心线对称

D．若圆O1、圆O2的半径为R、r，圆心距为d，当两圆同心时R-r>d例1（3）下列说法中，正确的是(

)A．没有公共点的两圆叫做两圆外离

B．相切两圆的圆心必经过切点

C．相交两圆的交点关于连心线对称1

2当两圆同心时R-r>dD．若圆O

、圆O

的半径为R、r，圆错心误距，为可d能，外离，也可能内含没有公共点的两圆叫做两圆相离（外离或内含）例1（2）下列说法中，正确的是(

)A．没有公共点的两圆叫做两圆外离

B．相切两圆的圆心距必经过切点当两圆同心时R-r>dC．相交两圆的交点关于连心线对称错误，应将圆心

D．若圆O1、圆O2的半径为R、r，圆距心改距为为连d心，线没有公共点的两圆叫做两圆相离（外离或内含）圆心距是两圆圆心之间的距离，是线段的长度。连心线是联结两圆圆心的直线。线段直线例1（2）下列说法中，正确的是(

)A．没有公共点的两圆叫做两圆外离B．相切两圆的圆心必经过切点C．相交两圆的交点关于连心线对称

D．若圆O1、圆O2的半径为R、r，圆心距为d，当两圆同心时R-r>dO1O2BA相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。没有公共点的两圆叫做两圆相离（外离或内含）圆心距是两圆圆心之间的距离，是线段的长度。连心线是联结两圆圆心的直线。正确例1（2）下列说法中，正确的是A．没有公共点的两圆叫做两圆外离B．相切两圆的圆心必经过切点错误，C．相交两圆的交点关于连心线对称两圆同心时d=0D．若圆O1、圆O2的半径为R、r，圆心距为d，当两圆同心时R-r>d(

C

)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。没有公共点的两圆叫做两圆相离（外离或内含）圆心距是两圆圆心之间的距离，是线段的长度。连心线是联结两圆圆心的直线。【说明】位置关系图形d与R、r关系公共点个数有关性质相离外离rdRd＞R+r0当d=0时，两圆为同心圆内含rdR0≤d＜∣R-r∣0相切外切rdRd=R+r1相切两圆的连心线经过切点。内切rdR0＜d=∣R-r∣1相交rR∣R-r∣＜d＜R+r2相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。【说明】两个不等圆之间的位置关系用数轴表示为：外离相交内切外切0（同心圆）R+r∣R-r∣内含①外离

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相切

d<r；CADB3452

2S

=

1

AB CD

=

1

AC

BC

ACB当r=2时，CD>r，圆C与直线AB相离2.4∴CD=2.4分析：（1）过点D作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5当r=3.5时，CD<r，圆C与直线AB相交例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．（1）以C为圆心，2为半径的圆与直线AB的位置关系是相离；以C为圆心，3.5为半径的圆与直线AB的位置关系是

相交；若和直线AB相切，那么圆C的半径长为

2.4

圆C与直线AB相切，r=2.4范围.分析：CADB452.4相离相交2.4r=2.4，圆C与直线AB相切，有一个交点0<r<2.4时，圆C与直线AB相离，无交点3例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以C为圆心，2为半径的圆与直线AB的位置关系是相离

；以C为圆心，3.5为半径的圆与直线AB的位置关系是

相交

；若和直线AB相切，那么圆C的半径长为

2.4

若以C为圆心的圆与斜边AB有一个交点，求半径r的取值例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．ADB452.4以C为圆心，2为半径的圆与直线AB的位置关系是相离；以C为圆心，3.5为半径的圆与直线AB的位置关系是

相交；若和直线AB相切，那么圆C的半径长为

2.4

若以C为圆心的圆与斜边AB有一个交点，求半径r的取值范围.分析：r=2.4，圆C与直线AB相切，有一个交点0<r<2.4时，圆C与直线AB相离，无交点3r>2.4时，圆C与直线AB有两个交点，C例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．ADB452.4以C为圆心，2为半径的圆与直线AB的位置关系是相离；以C为圆心，3.5为半径的圆与直线AB的位置关系是

相交；若和直线AB相切，那么圆C的半径长为

2.4

若以C为圆心的圆与斜边AB有一个交点，求半径r的取值范围.分析：r=2.4，圆C与直线AB相切，有一个交点0<r<2.4时，圆C与直线AB相离，无交点3r>2.4直线2.4<r≤3其中r=3时，其中一个交点为点A

C3<r≤4时，圆C与斜边AB有一个交点，其中r=4时，交点为点B时，圆C与斜边AB有两个交点，例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．范围.分析：ADB452.4以C为圆心，2为半径的圆与直线AB的位置关系是相离；以C为圆心，3.5为半径的圆与直线AB的位置关系是

相交；若和直线AB相切，那么圆C的半径长为

2.4

若以C为圆心的圆与斜边AB有一个交点，求半径r的取值r=2.4，圆C与直线AB相切，有一个交点0<r<2.4时，圆C与直线AB相离，无交点3r>2.4时，圆C与斜边AB有两个交点，2.4<r≤3其中r=3时，其中一个交点为点A

C3<r≤4时，圆C与斜边AB有一个交点，其中r=4时，交点为点Br>4时，圆C与斜边AB有没有交点3<r≤4或r=2.4例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．范围.AB4D

52.4以C为圆心，2为半径的圆与直线AB的位置关系是相离；以C为圆心，3.5为半径的圆与直线AB的位置关系是

相交；若和直线AB相切，那么圆C的半径长为

2.4

若以C为圆心的圆与斜边AB有一个交点，求半径r的取值3<r≤4或r=2.4●判断直线与圆的位置关系，关键是将3圆心到直线的距离与半径进行比较。●判断线段与圆的位置关系要注意线段C是有限的，不是无限延伸的，因此需要考虑线段的端点与圆的位置关系。【说明】例3

（1）已知两圆的半径是6与8，圆心距是15，那么这两个圆的位置关系是

已知两圆的半径是6与8，圆心距是7，那么这两个圆的位置关系是已知两圆内含，一个圆的半径是8，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是已知两圆相切，一圆的半径是6，圆心距是7，那么另一圆的半径是已知两圆没有公共点，一圆的半径是6，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是

外离

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r内切

0＜d=∣R-r∣内含

0≤d＜∣R-r∣位置关系是已知两圆内含，一个圆的半径是8，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是

已知两圆相切，一圆的半径是6，圆心距是7，那么另一圆的半径是

已知两圆没有交点，一圆的半径是6，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是

（2）已知两圆的半径是6与8，R圆+r心=1距4,是d=71，5

那么这两个圆的∴d

>R+r外离

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r内切

0＜d=∣R-r∣内含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知两圆的半径是6与8，圆心距是15，那么这两个圆的位置关系是

外离

例3（1）已知两圆的半径是6与8，圆心距是15，那么这两个圆的半径的取值范围是

∣R-r∣=2已知两圆相切，一圆的半∴径∣是R-6r，∣圆＜心d＜距R是+r7，那么另一圆的半径是

已知两圆没有交点，一圆的半径是6，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是

外离

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r内切

0＜d=∣R-r∣内含

0≤d＜∣R-r∣圆的位置关系是

外离

已知两圆的半径是6与8，圆心距是7，那么这两个圆的位置关系是相交已知两圆内含，一个圆的R+半r

径=1是4,d8，=7圆心距是7，另一个7＜∣8-r∣∴r-8＞7或r-8＜-7且r＞0∴r＞15或0＜r＜1外离

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r内切

0＜d=∣R-r∣内含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知两圆的半径是6与8，圆心距是15，那么这两个圆的位置关系是

外离

已知两圆的半径是6与8，圆心距是7，那么这两个圆的位置关系是

相交

已知两圆内含，一个圆的半径是8，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是r＞15或0＜r＜1已知两圆相切，一圆的半径是6，圆心距是7，那么另一圆的半径是

已知两圆没有交点，一圆的半径是6，圆心距是7，另一个圆的半d＜径∣的R取-r值∣范围是

圆的半径是圆的半径的外切

d=R+r∴

7=6+r

r=1内切

d=∣R-r∣∴7=∣6-r∣

r=13或-1∴r=1或13外离

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r内切

0＜d=∣R-r∣内含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知两圆的半径是6与8，圆心距是15，那么这两个圆的位置关系是

外离

已知两圆的半径是6与8，圆心距是7，那么这两个圆的位置关系是

相交

已知两圆内含，一个圆的半径是8，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是r＞15或0＜r＜1已知两圆相切，一圆的半径是6，圆心距是7，那么另一1或13（5）已知两圆没有交点，一圆的半径是6，圆心距是7，另一个外切或内切

取值范围是

例3（1）已知两圆的半径是6与8，圆心距是15，那么这两个外离

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r内切

0＜d=∣R-r∣内含

0≤d＜∣R-r∣圆的位外置离关系d是>R+r外∣离

∴已7<知6+两r

圆的r半<1径是6与8，圆心距是7，那么这两个圆的位置关内系含是

0相≤交d

<∣R-r∣∴已7知<∣两6圆-r∣内含r>，13一或个r<圆0

的半径是8，圆心距是7，另一个圆的半∵径r>的0取值范围是r＞15或0＜r＜1∴已0知<r两<1圆或相r>切13，一圆的半径是6，圆心距是7，那么另一圆的半径是

1或13

已知两圆没有交点，一圆的半径是6，圆心距是7，另一个圆的半径的取值范围是

0<r<1或r>13

外离或内含【说明】外离

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r内切

0＜d=∣R-r∣内含

0≤d＜∣R-r∣●相离包括外离与内含，两圆没有公共点；相切包括外切与内切，两圆有一个公共点.●在解绝对值方程时注意：x

>a(a

>0)的解集是x

>a

或x

<-ax

<a(a

>0)的解集是-a

<x

<a例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这两圆的圆心距是

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这两圆的圆心距是

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。O1BAC

653

4O2例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。O1BAC54在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

43

47

O2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

77两圆的圆心距是4

+例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。O1BAO2C在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

4在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

77两圆的圆心距是4

+O2

O1例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。A在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

42

2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

32=

7∴O1O2=4

+

74

-

73CB两圆的圆心距是4

+7

或4

-7例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。O1BAC534在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

447

O2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

7O

O2

1A3CB两圆的圆心距是4

+7

或4

-7在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

4在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

-

7①O1、O2在AB两侧时，②O1、O2在AB同侧时，例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这O1BAC543

47

O2O

O2

1A3CB两圆的圆心距是4

+7

或4

-7【说明】在解决两圆相交问题时，常添连心线、公共弦等辅助线，这样，两圆半径、圆心距和公共弦的一半就集中到直角三角形中，利用直角三角形的有关知识解决即可。在给出已知不相等的两圆的半径和公共弦，求两圆的圆心距，一般由两种情况：①两圆心在公共弦的两侧②两圆心在公共弦的同侧（2）已知⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C半径分别为6、2、1，且∠BAC=60°，那么BC的长为

ABC例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这两圆的圆心距是4

+7

或4

-773⊙A与⊙B内切，AB=6-2=4⊙A与⊙C外切，AC=6+1=7460°AB=6-2=4AC=6+1=7相切两圆的连心线经过切点。外切

d=R+r内切

d=∣R-r∣>060°例4（1）已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，则这两圆的圆心距是4

+7

或4

-7（2）已知⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C43ABC半径分别为6、2、1，且∠BAC=60°，那么BC的长为作BD⊥AC于点D2

32

D

57⊙A与⊙B内切，AB=6-2=4⊙A与⊙C外切，AC=6+1=7在Rt△ABD中，∠BAC=60°∴

AD

=

1

AB

=

2,BD

=

2

32在Rt△BCD中，BC

=

(2 3

)2

+

52

=

3737相切两圆的连心线经过切点。外切

d=R+r内切

d=∣R-r∣>0涉及到两圆位置关系时，常用的添辅助线的方法是：①两圆相交，常添连心线或公共弦②两圆相切，常添连心线或过切点作两圆的公共切线③涉及到多个圆的相切问题，通过连心线构造三角形，再作高，利用勾股定理去求解。【说明】分析：∠A=∠CPC=PAP是AB上的一个动点，PC=PA，PC与AB的延长线相交于点C，联结PO，设PA=x，BC=y求证：△POA∽△CPA求y与x之间的函数解析式，并指出定义域；当x为何值时，PC与半圆O相切？CAM

POA=OP∠A=∠APO∠C=∠APO

∠A=∠A△POA∽△CPAO8xB

y例5如图，已知半圆O的直径AB=8，M是半圆AB的中点，分析：CAM

PO8xB

y△POA∽△CPAAxP

=

A4O

A8+Cx

AxP4y

=

1

x2

-

8(0

<

x

<

8)P是AB上的一个动点，PC=PA，PC与AB的延长线相交于点C，联结PO，设PA=x，BC=y求证：△POA∽△CPA求y与x之间的函数解析式，并指出定义域；当x为何值时，PC与半圆O相切？例5如图，已知半圆O的直径AB=8，M是半圆AB的中点，分析：CAM

PO8B

y△POA∽△CPAAxP

A4OA8+Cx

=

AxP4y

=

1

x2

-

84

2xP是AB上的一个动点，PC=PA，PC与AB的延长线相交于点C，联结PO，设PA=x，BC=y求证：△POA∽△CPA求y与x之间的函数解析式，并指出定义域；当x为何值时，PC与半圆O相切？例5如图，已知半圆O的直径AB=8，M是半圆AB的中点，①M是半圆O的中点((40

<2

x<

<x

8<)8)

②

y>

0点C，联结PO，设PA=x，BC=y（1）求证：△POA∽△CPA（3）当x为何值时，PC与半圆O相切？分析：例5如图，已知半圆O的直径AB=8，M是半圆AB的中点，CAM

PPC与半圆O相切O8B

yx∠OPC=90°O4P

2+PCx

2=O(C4+2y)24y

=

1

x2

-

8（2）求y与x之间的函数解析式，并指出定义域；4y

=

1

x2

-

8y=4或

4

3y=

4

3P是AB上的一个动点，PC=PA，PC与AB的延长线相交于(4 2

<

x

<

8)(4 2

<

x

<

8)AEC

xyD例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联结AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．3BQP4AC

xyD例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联结AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．3BQP4yE分析：4DE=DQ=yAD∥BC

AD

=

DE

CP

EC分析：AC

xyDAD∥BC3BQP4yE12y

=x

+

4(x＞0

)DE=DQ=yA4D

=

DyE

CxP

3E-Cy4例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联结AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联结AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．S△AQES△PQEy

=12x

+

4（2）当点P运动时，△APQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ的面积S关于x的函数关系式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由．AC

xyD3BQP4yE4S△APQ2=

12

y x

=

xy2=

12

y

4

=

4

yS△APQ=(x+4)y12y

=x

+

4S△APQ=12例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联结AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．S△AQES△PQEy

=12x

+

4AC

xyD3BQP4yE4S△APQ2=

12

y x

=

xy2=

12

y

4

=

4

yS△APQ=(x+4)y12y

=x

+

4S△APQ=12（2）当点P运动时，△APQ的面积不否会会发发生生变变化化？如果发生变化，请求出△APQ的面积S关于x的函数关系式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由．例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联结AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．外切

d=R+r内切

d=∣R-r∣>0y

=12x

+

4ADC

xy3BQP4yE4（2）当点P运动时，△APQ的面积不会发生变化S△APQ=12（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．F相切

d=r；QF=4⊙A与⊙Q相切外切d=AQ=r4Q

+rA内切d=AQ=|r4Q

-rA|AQ例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联结AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．y

=12x

+

4DC

xy3BQP4y4（2）当点P运动时，△APQ的面积不会发生变化S△APQ=12QF=4（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．S△APQ=12AP

=6F6

E∠BPA=30°∠DAE=30°

AAB=3∠QAP=60°QF=4383AQ

=60°例6如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长