2019年新课堂高考复习数学文科第九章5讲用样本估计总体配套课件

第5讲

用样本估计总体考纲要求考点分布考情风向标了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们2013年新课标Ⅰ第18题考查求平均数及茎叶图；由于高考对统计考查的覆盖面广，几乎对所有的统计考点都有所涉及，包括样本的频率分布(折线图、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算.复习时，对于统计的任何环节都不能遗漏，最主要的是掌握好统计的基础知识，适度的题量练习.高考对频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目考查日益频繁.因此，复习时要加强这方面的训练，弄清图表中有关量的含义，并从中提炼出有用的信息，为后面的概率计算打好基础各自的特点.2014

年新课标Ⅱ第19

题考2.理解样本数据标准差的意义和查求中位数及茎叶图；作用，会计算数据标准差.2014

年新课标Ⅰ第18

题完3.能从样本数据中提取基本的数成频率分布直方图、平均数字特征(如平均数、标准差)，并给及方差及用样本估计总体思出合理的解释.想应用；4.会用样本的频率分布估计总体2016

年新课标Ⅰ第19

题考分布，会用样本的基本数字特征查用样本估计总体思想应估计总体的基本数字特征，理解用；用样本估计总体的思想.2017

年新课标Ⅰ第2

题考查5.会用随机抽样的基本方法和样样本数据平均数、中位数、本估计总体的思想解决一些简单标准差等的实际问题1.用样本估计总体通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征.2.统计图(1)频率分布直方图.①求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差.②决定组距和组数：当样本容量不超过100

时，常分成5～极差12组，组距＝

组数

；③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组.④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表.将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率.频率反映各个数据在每组所占比例的大小.⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一小长方形，它的高等于该组的组距频率，这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该组上的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形的面积总和等于

1

.(2)频率分布折线图和总体密度曲线.①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各长方形上端的中点，就得频率分布折线图.②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，在统计中称之为总体密度曲线.(3)茎叶图.当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录信息，给数据的记录和表示都带来方便.3.用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数、中位数、平均数.①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.2

n即－x

＝n(x1＋x

＋…＋x

).据的众数.②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在

最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：样本数据的算术平均数，1(2)样本方差、标准差.①标准差s＝1n1[(x

－

x—22)＋(x

－

x—2n)＋…＋(x

－

x—2)](其中xn

是样本数据的第n

项，n

是样本容量，x是平均数

).②标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差接近总体方差.1.(2017

年江西南昌二模)图951

是一样本的频率分布直方图.若样本容量为

100，则样本数据在[15,20)内的频数是(

)A.50B.40图951C.30D.14解析：因为[15,20)对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在[15,20)的频数为0.3×100＝30.故选C.答案：C2.(2015

年重庆)重庆市2013

年各月的平均气温(单位：℃)数据的茎叶图如图

952，则这组数据中的中位数是(

)图952A.19

B.20

C.21.5

D.23解析：由茎叶图可知总共12

个数据，处在正中间的两个数是第6

和第7

个数，它们都是20，由中位数的定义可知：其中位数就是20.故选B.B3.(2015

年广东)已知样本数据

x1，x2，…，xn

的均值

x

＝5，则样本数据

2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1

的均值为

11

.解析：因为样本数据x1，x2，…，xn

的均值x

＝5，所以样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1

的均值为2x

＋1＝2×5＋1＝11.4.(2016

年上海)某次体检，6

位同学的身高(单位：米)分别为

1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是

1.76

(单位：米).解析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这6

个数的中位数是1.75

与1.77

的平均数，显然为1.76.考点1样本的数字特征例1：(1)(2017

年新课标Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n

块地作试验田.这n

块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(

)A.x1，x2，…，xn的平均数

C.x1，x2，…，xn的最大值B.x1，x2，…，xn的标准差

D.x1，x2，…，xn的中位数解析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.故选B.答案：B(2)(2017

年湖南衡阳四中统测)10

名工人某天生产同一零件，生产的件数是

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a，中位数为

b，众数为

c，则有(

)A.a>b>cC.c>a>bB.b>c>aD.c>b>a解析：∵生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，总和为

147，∴平均数

a

147

14.7；＝

10

＝样本数据17

出现次数最多，为众数，即c＝17；从小到大排列中间2

个数的平均数，即中位数b＝15.∵17＞15＞14.7，∴c＞b＞a.答案：D丙班成绩分数708090100人数4664甲班成绩分数708090100人数5555(3)甲、乙、丙三个班各有20

名学生，一次数学考试后，三个班学生的成绩与人数统计如下表：乙班成绩分数708090100人数6446s1，s2，s3

分别表示甲、乙、丙三个班本次考试成绩的标准差，则(

)A.s2>s1>s3C.s1>s2>s3B.s2>s3>s1D.s3>s1>s2解析：三个班本次考试成绩的均值都为85，由标准差的几何意义得，标准差越小，数据偏离于均值的平均程度越小，因此s2

最大，s3

最小.故选A.答案：A考点2茎叶图的应用例2：(2014

年新课标Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50

位市民，根据这50

位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图(如图953).图9-5-3(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90

分的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26

位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26

位2的是66,68，故样本中位数为66＋68＝67.所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50

位市民对甲、乙部门的评分高于90分的比率分别为5

8

50

50＝0.1，

＝0.16.故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90

分的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门

的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市

民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差别较大.(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分)【互动探究】1.(2017

年山东)如图954

所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5

名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则

x

和

y

的值分别为(

A

)A.3,5

B.5,5图954C.3,7

D.5,7解析：甲组中位数为65，所以乙组中位数也为65，故y＝5，乙组平均数为66，所以56＋62＋65＋74＋70＋x＝66×5，x＝3.故选A.2.若某校高一年级8

个班参加合唱比赛的得分茎叶图(如图955)，则这组数据的中位数和平均数分别是(

A

)A.91.5

和91.5C.91

和91.5图955B.91.5

和92D.92

和92解析：这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，294

，

96.

∴

中

位

数

是

91＋92

＝

91.5

，

平

均

数

x

＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.3.如图956所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为

84，则

x＋y＝

10

.图956解析：x

甲＝75＋82＋84＋

80＋x

＋90＋936＝85，x＝6.又∵乙同学的成绩众数为84，∴y＝4.∴x＋y＝10.质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228考点3频率分布直方图的绘制及其应用例3：(2014年新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100

件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)如图957，在表格中作出这些数据的频率分布直方图：图957(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95

的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)频率分布直方图如图D67：图D67(2)质量指标值的样本平均数为x

＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120

×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95

的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68，由于该估计值小于0.8.故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95

的产品至少要占全部产品80%”的规定.【规律方法】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个要点：组距①纵轴表示频率；②频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；③直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.【互动探究】4.某学校随机抽取20

个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图958.以组距为5

将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(

)图958ACBD分组频数频率频率组距[0,5)10.050.01[5,10)10.050.01[10,15)40.200.04[15,20)20.100.02[20,25)40.200.04[25,30)30.150.03[30,35)30.150.03[35,40]20.100.02合计201.000.20解析：根据题意，列频率分布表得：故选A.答案：AA.55

B.65图959C.75

D.852解析：由直方图可得众数大约为70＋80

75.＝5.(2015

年江西南昌模拟)某中学为了检验1000名在校高三学生对函数模块掌握的情况，进行了一次测试，并把成绩进行统计，得到的样本频率分布直方图如图959，则考试成绩的众数大约为(C

)6.(2016

年宁夏固原模拟)某小区共有1000

户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图

9510，则该小区居民用电量的中位数为

，平均数为

.图95100.02×20

0.1

解析：中位数为：150＋(170－150)×

＝155.该组数据的平均数为x

＝0.005×20×120＋0.015×20×140＋0.020

×20

×160＋0.005

×20

×180＋0.003

×20

×200＋0.002×20×220＝156.8.答案：155

156.8难点突破⊙函数思想在统计中的应用在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现，考查统计与概率的知识，这也是近几年高考出题的热点.例题：(2016

年新课标Ⅰ)某公司计划购买1

台机器，该种

机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，

可以额外购买这种零件作为备件，每个200

元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500

元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100

台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图9511：记x

表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1

台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.图9511若n＝19，求y

与x的函数解析式；若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n

的最小值.(3)假设这100

台机器在购机的同时每台都购买19

个易损零件，或每台都购买20

个易损零件，分别计算这100

台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？由柱状图知，需更换的零件数不大于18

的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n

的最小值为19.若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70

台在购买易损零件上的费用为3800,20

台的费用为4300,10

台的费用为4800，因此这100

台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：y＝解：(1)当x≤19

时，y＝3800；当x>19

时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y

与x

的函数解析式为3800，x≤19，500x－5700，x>19，(x∈N).

1

×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000.100若每台机器在购机同时都购买20

个易损零件，则这100

台机器中有90

台在购买易损零件上的费用为4000,10

台的费用为4500，因此这100

台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：

1

×(4000×90＋4500×10)＝4050.100比较两个平均数可知，购买1