2013届高考数学二轮突破知精讲精练综合训练(四)

eq\x(综合训练四)时量：50分钟满分：50分解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA＝3，cosC＝eq\f(\r(5),5).(1)求角B的大小；(2)若c＝4，求△ABC的面积．解析：(1)由cosC＝eq\f(\r(5),5)，所以sinC＝eq\f(2\r(5),5)，所以tanC＝2.因为tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝1，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,4).(2)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)可得，b＝eq\f(c,sinC)·sinB＝eq\r(10)，由sinA＝sin(B＋C)＝sin(eq\f(π,4)＋C)，得sinA＝eq\f(3\r(10),10)，所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝6.2.某班甲、乙、丙三人按下面的规则进行羽毛球比赛．第一局由甲、乙两人比赛，而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中甲、乙、丙获胜的概率均为eq\f(1,2)，且各局胜负相互独立．求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数X的分布列与期望EX.解：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．(1)由题设，所求事件的概率P＝P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,23)＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能取值为2,3,4,5,6，P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝eq\f(1,22)＋eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,23)＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,24)＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝eq\f(1,25)＋eq\f(1,25)＝eq\f(1,16)，P(X＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝eq\f(1,25)＋eq\f(1,25)＝eq\f(1,16).故X的分布列如下表：X23456Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,8)eq\f(1,16)eq\f(1,16)从而EX＝2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,8)＋5×eq\f(1,16)＋6×eq\f(1,16)＝eq\f(47,16).3.如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.(1)证明：EM⊥BF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．解析：(1)证明：因为EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，所以EA⊥BM.又因为BM⊥AC，EA∩AC＝A，所以BM⊥平面ACFE.而EM⊂平面ACFE，所以BM⊥EM.因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°.又因为∠BAC＝30°，AC＝4，所以AB＝2eq\r(3)，BC＝2.在Rt△ABM中，AM＝3，所以CM＝1，BM＝eq\r(3).如图，以A为坐标原点，垂直于AC，AC，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(eq\r(3)，3,0)，F(0,4,1)，所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝(0，－3,3)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,1)．eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(0，－3,3)·(－eq\r(3)，1,1)＝0，得eq\o(ME,\s\up6(→))⊥eq\o(BF,\s\up6(→))，所以EM⊥BF.(2)由(1)知eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－3,3)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,1)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BE,\s\up6(→))＝0,n·\o(BF,\s\up6(→))))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x－3y＋3z＝0,－\r(3)x＋y＋z＝0)).令x＝eq\r(3)，得y＝1，z＝2，所以n＝(eq\r(3)，1,2)．由已知EA⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量为eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0,0,3)，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈n，eq\o(AE,\s\up6(→))〉|＝|eq\f(\r(3)×0＋1×0＋2×3,3×2\r(2))|＝eq\f(\r(2),2)，所以平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为eq\f(\r(2),2).4.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解析：(1)eq\f(H,AD)＝tanβ⇒AD＝eq\f(H,tanβ)，同理：AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ).AD－AB＝DB，故得eq\f(H,tanβ)－eq\f(H,tanα)＝eq\f(h,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d)，tanβ＝eq\f(H,AD)＝eq\f(h,DB)＝eq\f(H－h,d)，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ)＝eq\f(\f(H,d)－\f(H－h,d),1＋\f(H,d)·\f(H－h,d))＝eq\f(hd,d2＋HH－h)＝eq\f(h,d＋\f(HH－h,d)).d＋eq\f(HH－h,d)≥2eq\r(HH－h