第讲数学在机械中的简单应用教学课件

第讲数学在机械中的简单应用56、死去何所道，托体同山阿。57、春秋多佳日，登高赋新诗。58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴理荒秽，带月荷锄归。道狭草木长，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿无违。59、相见无杂言，但道桑麻长。60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。第讲数学在机械中的简单应用第讲数学在机械中的简单应用56、死去何所道，托体同山阿。57、春秋多佳日，登高赋新诗。58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴理荒秽，带月荷锄归。道狭草木长，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿无违。59、相见无杂言，但道桑麻长。60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。第3讲---数学在机械中的简单应用一、曲柄存在的条件二、极位夹角和摇杆摆动角的计算三、V带传动的形式及使用特点21.熟练掌握四杆机构中曲柄存在的条件；2.熟练掌握利用余弦定理求曲柄摇杆机构中极位夹角和摇杆的摆动角；3.掌握V带传动中的胶带几何长度和小带轮包角的计算。学习目标3(2)平面四杆机构的有关名词：机架－－固定件AB连杆－－不与机架直接连接CD连架杆－与机架直接连接AD、BC曲柄－－能做整圈回转的连架杆AD摇杆－－只能在小于3600内摆动的连架杆BC曲柄摇杆机构－－两连架杆中一个为曲柄(AD),另一个为摇杆(BC)的四杆机构67891011121314151617181920212223242526272829(3)极位夹角当主动杆、摇杆分别摆到两个极限位置时，从动曲柄与连杆也相应共线，曲柄的两个对应位置所夹的锐角称为极位夹角。（如图中的角α）(4)死点位置当平面铰链四杆机构的从动曲柄转至该点时，使得机构转不动或出现运动不确定现象，机构的这种位置称为死点位置。（如图中的点D1、D2）30(5)

摇杆的摆动夹角当曲柄摇杆机构的曲柄与连杆两次共线时，摇杆在两个极限位置之间的夹角，称为摇杆的摆动夹角。（如图中的角θ）31如图所示，图中的杆1和3是连架杆，杆4是机架，杆2是连杆。连架杆1能否成为曲柄，则取决于机构中各杆的长度关系和选择哪个构件为机架有关。即要使连架杆成为能整周转动的曲柄，各杆必须满足一定的长度条件，这就是所谓的曲柄存在的条件。下面我们就来推导一下曲柄存在的条件2、曲柄存在的条件32如右图所示的曲柄摇杆机构，其中AB为曲柄，BC为连杆，CD为摇杆，AD为机架，它们的长度分别用a、b、c、d来表示，在AB转动一周中，曲柄AB与机架AD两次共线。由图形可知：33当连杆在点时，形成所以有即------①34当连杆在点时，形成所以有

得------②即得即

-------③35联立①②③并化简为④⑤⑥将式④、⑤、⑥分别两两相加，则得即AB杆为最短杆。36在曲柄摇杆机构中，要使连架杆AB为曲柄，它必须是四杆中的最短杆，且最短杆与最长杆长度之和应小于其余两杆长度之和，考虑到更一般的情形，可将铰链四杆机构曲柄存在条件概括为：(1)连架杆与机架中必有一个最短杆；(2)最短杆与最长杆长度之和必小于或等于其余两杆长度之和。上述两条件必须同时满足，否则机构中无曲柄存在所以曲柄存在的条件为371.若铰链四杆机构中最短杆长度与最长杆长度之和小于或等于其余两杆长度之和，则可能有以下三种情况：①以最短杆的相邻杆为机架，则最短杆为曲柄，而与机架相连的另一杆为摇杆，则该机构为曲柄摇杆机构。②以最短杆为机架，则其相邻两杆均为曲柄，故该机构为双曲柄机构。③以最短杆的相对杆为机架，则无曲柄存在，因此该机构为双摇杆机构。2.若铰链四杆机构中最短杆长度与最长杆长度之和大于其余两杆长度之和，则无论以哪一杆为机架，均为双摇杆机构。根据曲柄条件，还可作如下重要推论38曲柄摇杆机构：取最短杆的邻杆为机架双摇杆机构：取最短杆的对杆为机架

最短杆长度与最长杆长度之和大于其余两杆长度之和双曲柄机构：取最短杆为机架即:39解：因为AB杆最长，AD杆最短AB+AD=450+200=650mm，BC+CD=400+300=700mm①要使该机构是双曲柄机构，在满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆为机架，故以AD杆为机架；300400450200所以四杆尺寸满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和。例1:在铰链四杆机构中，各杆件尺寸分别为AB=450mm,BC=400mm,CD=300mm,AD=200mm。①若以

为机架，则为双曲柄机构；②若以

为机架，则为曲柄摇杆机构；③若以

为机架，则为双摇杆机构。40300400450200例1:在铰链四杆机构中，各杆件尺寸分别为AB=450mm,BC=400mm,CD=300mm,AD=200mm。①若以

为机架，则为双曲柄机构；②若以

为机架，则为曲柄摇杆机构；③若以

为机架，则为双摇杆机构。解：②要使该机构为曲柄摇杆机构，在满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆的相邻杆为机架，即以AB或CD为机架；③要使该机构为双摇杆机构，在满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆的相对杆为机架，即以BC杆为机架；41例2：已知如图所示铰链四杆机构ABCD中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取AD为机架，（1)如果该机构能成为曲柄摇杆机构，且AB是曲柄，求杆AB的取值范围；解：（1）AD为机架，要使该机构为曲柄摇杆机构，AB为曲柄，必须满足最短杆与最长杆之和小于或等于其余两杆之和，且以最短杆的相邻杆为机架，最短杆为曲柄，即AB杆最短。其中已知BC杆为最长杆,所以有355030？42解：（2）AD为机架，要使该机构成为双曲柄机构，应满足必须满足最短杆与最长杆之和小于或等于其余两杆之和，最短杆为机架。所以AD杆最短，则最长杆可能为BC杆，也可能是AB杆，也有可能一样长。例2：已知如图所示铰链四杆机构ABCD中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取AD为机架，（2)如果该机构能成为双曲柄机构，求杆AB的取值范围；355030？①若AB杆为最长杆,有AB+AD≤BC+CD,所以有AB≤55mm,即50mm<AB≤55mm②若BC杆为最长杆,有BC+AD≤AB+CD，所以有AB≥45mm,即45mm≤AB<50mm

所以，若该机构为双曲柄杆构，则必须满足45mm≤AB≤55mm43例2：已知如图所示铰链四杆机构ABCD中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取AD为机架（3）如果该机构能成为双摇杆杆构，求杆AB的取值范围；解：（3）AD为机架，不满足以最短杆的相对杆为机架。要使该机构为双摇杆机构，则最短杆与最长杆之和应大于另外二杆之和。现在问题的关键为谁是最短、最长杆？①若AB杆最短，则最长杆为BC,有AB+BC>AD+CD,所以有AB>15mm②若AD杆最短，最长杆可能是BC杆，也可能是AB杆，当BC杆最长时,有AD+BC>AB+CD,所以有AB<45mm

当AB杆最长时,有AD+AB>BC+CD,所以有AB<55mm综上分析：AB杆的取值范围为：15mm<AB<45mm355030？44先回顾一下余弦定理：在△ABC中或二、极位夹角和摇杆摆动角和数学计算45如右图所示，根据余弦定理有所以有同理可得4647极位夹角α的具体计算为：摇杆摆动角θ的具体计算为：48例3：某磨床采用如图所示的四杆机构，已知曲柄长r=80mm，连杆长L=310mm，摆杆长b=150mm，曲柄转动中心到摆杆中心的距离H=325mm，试求：（1）曲柄转动一周时，摆杆摆动最大角度θ有多大？（2）极位夹角α多大？这里要用到余弦定理和反三角函数的记法以及科学型计算器(即携带函数功能的计算器,现在的高中生曾用过的计算器也可)49解:由《机械基础》知识画出其相应的数学图形以便于计算50科学型计算器上的按键顺序为shiftcos((325x2+150x2-390x2)÷(2×325×150))-。,„shiftcos((325x2+150x2-230x2)÷(2×325×150))=51电脑计算器上的按键顺序为((325x2+150x2-390x2)÷(2×325×150))-钩上Hyp---再点dmscos((325x2+150x2-230x2)÷(2×325×150))=钩上Invcos钩上Inv5253科学型计算器上的按键顺序为shiftcos((325x2+230x2-150x2)÷(2×325×230))-。,„shiftcos((325x2+390x2-150x2)÷(2×325×390))=54电脑计算器上的按键顺序为((325x2+230x2-150x2)÷(2×325×230))-钩上Hyp---再点dmscos((325x2+390x2-150x2)÷(2×325×390))=钩上Invcos钩上Inv551、如图所示铰链四杆机构中，各构件长度分别为AB=28mm，BC=52mm，CD=50mm，AD=72mm。求该机构的极位夹角α、摇杆CD的最大摆角θ。练习:562、在图示的曲柄滑块机构中。已知偏距e=10mm，曲柄长a=20mm且为主动件，连杆长b=60mm，试求出极位夹角α和滑块的行程。练习:573、如图所示的一曲柄摇杆机构，已知DC´=DC=32mm,B´C´=BC=43mm,AB=A´B´=12mm，试根据图示尺寸计算摇杆3摆动的最大角度θ和极位夹角α。练习:584、如图所示为一种常用的四杆机构，AB为曲柄，可绕A点转动；BC是连杆；CD是摆杆。当A、B、C三点在一条直线上时，是摆杆摆动方向改变的转折位置，B1AC1连线与AB2C2连线间的夹角θ=α1-α2。设曲柄长r=50mm，连杆长L=350mm，摆杆长R=100mm，曲柄转动中心A到摆杆摆动中心D的距离H=300mm，求摆杆的摆动角φ。练习:59三、平带传动中的数学计算在《机械基础》中出现了平带传动的胶带几何长度和小带轮包角的计算。众所周知，平带传动形式有三种：开口式传动、交叉式传动和半交叉式传动.平带传动形式和有关参数计算如表所示.60开口式简图小带轮包角胶带几何长度61交叉式简图小带轮包角胶带几何长度62半交叉式简图小带轮包角胶带几何长度63交叉式简图小带轮包角胶带几何长度64下面来推导开口式的小带轮包角和胶带几何长度：、由平面几何得，由于角θ很小，故如图所示小带轮包角为大带轮的包角为两轮的中心距为大轮、小轮的直径分别为和65上式中的角θ为弧度制，化为角度制为或代入得66再来推导胶带几何长度，胶带的几何长度为劣弧AD、优弧BC、弦AB及弦CD的长度之和，即为：当θ很小时，67解：初算胶带长度为

小带轮包角为：

所以合用68在实际工作中，小带轮的包角α不宜过小，以免降低传动的工作能力.一般要求.例4：设计某机床上电动机与主轴箱的V带传动，三班制工作，开口式传动.若取小带轮的基准直径为d1=140mm，大带轮的基准直径为d2=280mm，初选中心距为a=800mm，实际中心距a=7