定积分的应用习题与答案

·第六章定积分的应用（A）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积1）y1x2与x2y28（两部分都要计算）212）yx与直线yx及x2感谢阅读3）yex，yex与直线x1精品文档放心下载4）2acos5）xacos3t，yasin3t感谢阅读１、求由摆线xatsint，ya1cost的一拱0t2与横轴所围成的图形的面积精品文档放心下载２、求对数螺线ae及射线所围成的图形的面积精品文档放心下载Word资料·３、求由曲线ysinx和它在x2处的切线以及直线x所围成的图形的面积和它绕谢谢阅读轴旋转而成的旋转体的体积４、由yx3，x2，y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体谢谢阅读的体积５、计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积精品文档放心下载６、计算曲线y 333x上对应于1x3的一段弧的长度感谢阅读７、计算星形线xacos3t，yasin3t的全长谢谢阅读８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量S（单位：cm）感谢阅读Word资料·成正比，即：FkS（k是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm，计算所作的功感谢阅读９、一物体按规律xct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x0谢谢阅读移到xa时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m，口径20m，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？谢谢阅读１１、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm和6cm，高为20cm，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力谢谢阅读１２、设有一长度为，线密度为u的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处感谢阅读有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力感谢阅读(B)1、设由抛物线y22pxp0与直线xy3p所围成的平面图形为D21）求D的面积S;2）将D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积精品文档放心下载Word资料·2、求由抛物线yx2及y2x所围成图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的体谢谢阅读积3、求由ysinx，ycosx，x0，x2所围成的图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的体积感谢阅读p处的法线所围成的图形的面积4、求抛物线y22px及其在点2,p5、求曲线yx22x4在点M0,4处的切线MT与曲线y22x1所围成图形的面感谢阅读积6、求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值精品文档放心下载7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积1）3cos，1cos精品文档放心下载Word资料·2）asin，acossin，a0精品文档放心下载8、由曲线x2y5216所围成图形绕x轴旋转所成旋转体的体积谢谢阅读9、求圆心在0,b半径为a，ba0的圆，绕x轴旋转而成的环状体的体积谢谢阅读10、计算半立方抛物线y223x13被抛物线y23x截得的一段弧的长度精品文档放心下载Word资料·(C)1、用积分方法证明半径为R的球的高为H的球缺的的体积为谢谢阅读HVH2R30x在取何值时，阴影部分的面积S，S的和2、分别讨论函数ysinx212SSS取最大值和最小值123、求曲线yx0x4上的一条切线，使此切线与直线x0，x4以及曲线y x所围成的平面图形的面积最小4、半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？感谢阅读第六章定积分应用习 题 答 案（A）1、1）24，642）3ln23）e12332e4）a25）3a282a22128642ee22、3a3、4、1，5、，447526、43R37、2348、6a9、0.18kJ3327（其中k为比例常数）11、57697.5kJ12、14373kN10、27kc3a3711Gmu13、取y轴经过细直棒FyFxaa2t2aa2t2p3pydy16p2(B)Sy1、1）2233p2pp2px9p3px16p2或S22pxdx222pxdx30p2Word资料·2）Vp3py2dypy22272p3dy3p2153p2p1x11x2232、Ax2dx3Vx2dx00103、A4cosxsinxdx2sinxcosxdx222精品文档放心下载044cosx2sinx2dx2sinx2cosx2dx感谢阅读04p,p处的法线方程为：xy3p，以下解法同第一题A16p24、抛物线在点2235、MT：y43，3,22x，切线MT与曲线y22x1的交点坐标为2,14yy29A11dy22426、提示：设过焦点a,0的弦的倾角为则弦所在直线的方程为ytanxa谢谢阅读由ytanxa，y24ax得两交点纵坐标为精品文档放心下载y2actgcsc2actgcscy精品文档放心下载1 2y2y2所以Aayctgdyy14a4a2csc4a2ctg2csc43a2csc3谢谢阅读4a2csc343a2csc383a2csc3谢谢阅读因为0当时csc3取得最小值为12所以当时过焦点的弦与抛物线y24ax所围成的图形面积2A8a2csc3最小32Word资料·7、1）A2311cos2d213cos2d5精品文档放心下载0 2 2 43121212）A2da2240228、V4516x22dx4516x22dx4416024516x2516x222dx49、解法同题823x6610、提示：y2，y2，2,3x13联立得交点2,33所求弧长s221y'2dx1由y223得y'x123x1y于是y'22243x1x1x1y2x1323于是得S2213128532x12dx92112(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图x2y2R2的一部分）绕y轴旋转而成感谢阅读所以VRx2dyRR2y2dyR2yRy3RRHRHRH3RH3HRRR3HR332、解：StsintsinxdxS22sinxsintdx11tWord资料·Sttsintsinxdx+2sinxsintdx谢谢阅读1t2t0t=2cost2sint12S'0，得驻点tt42122易知S''t0S''t012S，S21S1Smax22min43、解：设x,y为曲线y x0x4上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：精品文档放心下载0 0yy1即yyxxxx0x0202200得其与x0，x40,y，4,y2的交点分别为0022y0于是由此切线与直线x0，x4以及曲线yx所围的平面图形面积为：4yx416S2y00xxdx3022x002x4160x30问题即求S2x416x30x4的最小值令Sx122x230得唯一驻点x2且为唯一极小值所以当x2时，S最小即所求切线即为：yx22224、如图：以水中的