计算机图形学第讲图形变换

计算机图形学第讲图形变换第1页，课件共48页，创作于2023年2月本讲内容齐次坐标表示法常见的二维图形几何变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换变换矩阵的功能分区图形的复合变换第2页，课件共48页，创作于2023年2月图形变换指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形坐标系不动而图形变动（几何变换）图形不动而坐标系变动（坐标变换）几何变换通常是以点变换为基础，即对图形对象的每个点进行变换；但作为线框图形，可以取一系列顶点作几何变换，连接新的顶点序列即可产生变换后的新图形图形的拓扑关系不变第3页，课件共48页，创作于2023年2月本讲内容齐次坐标表示法常见的二维图形几何变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换变换矩阵的功能分区图形的复合变换第4页，课件共48页，创作于2023年2月齐次坐标表示法将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量表示一个向量的齐次表示不是唯一的当齐次坐标的h为1时，称为规范化齐次方程

有n个分量的向量有n+1个分量的向量第5页，课件共48页，创作于2023年2月齐次坐标表示法二维齐次坐标在三维空间中第6页，课件共48页，创作于2023年2月齐次坐标技术的优点齐次坐标可以表达无穷远点对于h=0的齐次坐标表示无穷远点，如(a,b,0)表示ay=bx直线上的无穷远点采用齐次坐标可以统一图形变换的运算形式图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的单一形式将平移转换成矩阵乘法运算第7页，课件共48页，创作于2023年2月本讲内容齐次坐标表示法常见的二维图形几何变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换变换矩阵的功能分区图形的复合变换第8页，课件共48页，创作于2023年2月二维图形几何变换的齐次表示法某一点P(x,y)列向量齐次表示法一个图形的点集齐次表示法矩阵图形几何变换表示：第9页，课件共48页，创作于2023年2月几种常见的二维图形几何变换平移变换缩放变换旋转变换对称变换错切变换第10页，课件共48页，创作于2023年2月平移变换（Translation）指不产生变形而移动物体的刚性变换Tx平行于x轴的方向上的移动量Ty平行于y轴的方向上的移动量y平移变换x第11页，课件共48页，创作于2023年2月平移变换的齐次坐标表示平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法线性几何变换->矩阵乘法从而与其余四种几何变换运算方式相统一平移矩阵：简写为：第12页，课件共48页，创作于2023年2月缩放变换（Scaling）指图形相对于坐标原点，按比例系数(Sx,Sy)放大或缩小的变换Sx平行于x轴的方向上的缩放量Sy平行于y轴的方向上的缩放量yx相对于原点的比例变换第13页，课件共48页，创作于2023年2月缩放变换的齐次坐标表示比例矩阵：简写为：第14页，课件共48页，创作于2023年2月缩放变换的性质当Sx=Sy时，变换前的图形与变换后的图形相似当Sx=Sy=1时，图形不变，称为恒等变换当Sx=Sy>1时，图形将均匀放大，并远离坐标原点当0<Sx=Sy<1时，图形将均匀缩小，并靠近坐标原点当Sx≠Sy时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）当Sx<0时或Sy<0时，图形不仅大小发生变化，而且将相对于y轴、x轴或原点作对称变换第15页，课件共48页，创作于2023年2月yxyxyxyx第16页，课件共48页，创作于2023年2月整体比例变换整体比例变换，比例系数为1/S当0<S≤1时，图形等比例放大当S>1时，图形等比例缩小当S<0时，为等比例变换再加上对原点的对称变换整体比例矩阵：第17页，课件共48页，创作于2023年2月旋转变换x两式合并可得：y指将图形围绕圆心逆时针转动一个θ角度的变换（规定逆时针转动方向为正）旋转变换第18页，课件共48页，创作于2023年2月旋转变换新坐标轴方向x'轴:y'轴:P在新坐标轴上的投影=P点旋转后坐标xyx’y’第19页，课件共48页，创作于2023年2月旋转变换的齐次坐标表示旋转矩阵：简写为：第20页，课件共48页，创作于2023年2月对称变换指相对坐标轴、原点、线的对称变换（反射变换）相对于y轴对称：oyxyox相对于x轴对称：第21页，课件共48页，创作于2023年2月相对于原点对称（即中心对称）yoxyox相对于直线y=x对称对称变换第22页，课件共48页，创作于2023年2月xyoy=-x相对于直线y=-x对称简写为：第23页，课件共48页，创作于2023年2月错切变换（Shearing）指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错移变换）沿x轴方向关于y轴错切，即变换前后y坐标不变，x坐标呈线性变化 将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的倾斜线，而保持y坐标不变。第24页，课件共48页，创作于2023年2月xy△x第25页，课件共48页，创作于2023年2月沿y轴方向关于x轴错切，即变换前后x坐标不变，y坐标呈线性变化。y△yx简写为：第26页，课件共48页，创作于2023年2月本讲内容齐次坐标表示法常见的二维图形几何变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换变换矩阵的功能分区图形的复合变换第27页，课件共48页，创作于2023年2月变换矩阵的功能分区变换矩阵可用3×3矩阵来描述左上角的2×2子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；右上角的1×2子块可实现平移变换；左下角的2×1子块可实现投影变换；右下角的1×1子块可实现整体比例变换。第28页，课件共48页，创作于2023年2月变换矩阵的功能分区

比例变换、旋转变换对称变换、错切变换

平移变换第29页，课件共48页，创作于2023年2月变换矩阵的功能分区

投影变换

整体比例变换第30页，课件共48页，创作于2023年2月本讲内容齐次坐标表示法常见的二维图形几何变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换变换矩阵的功能分区图形的复合变换第31页，课件共48页，创作于2023年2月复合变换对于任何一个比较复杂的变换可以转换成若干个连续进行的基本变换这些基本几何变换的组合称为复合变换复合：矩阵乘法第32页，课件共48页，创作于2023年2月复合变换设图形经过n次基本几何变换，其变换矩阵分别为T1,T2,…,Tn顶点p经T1变换后：p'=T1p经T2变换后：p''=T2p'=T2T1p```

经Tn变换后：p(n)=Tnp(n-1)=TnTn-1…T2T1pT=

TnTn-1…T2T1就为复合变换矩阵第33页，课件共48页，创作于2023年2月复合变换对于计算复合变换时，可将各基本变换矩阵按序相乘，形成总的复合变换矩阵T，再将变换前的坐标与T相乘，得到变换后的最终坐标 p(n)=Tnp(n-1)=TnTn-1…T2T1p=(TnTn-1…T2T1)p =Tp一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应严格按照一定的交换顺序第34页，课件共48页，创作于2023年2月复合变换连续平移变换连续比例变换连续旋转变换相对任一参考点的二维几何变换以平面内任一直线为对称轴进行对称变换第35页，课件共48页，创作于2023年2月连续平移变换设点p(x,y)经过第一次平移变换T1(Tx1,Ty1)和第二次平移变换T2(Tx2,Ty2)后的坐标为P''(x'',y'')设点P(x,y)经过第一次平移变换T1后的坐标为P'(x',y')设点P’(x’,y’)经第二次平移变换T2后的坐标为P’’(x’’,y’’)第36页，课件共48页，创作于2023年2月得到连续平移变换的复合矩阵T为：

即连续的平移变换是平移量的相加连续平移变换第37页，课件共48页，创作于2023年2月连续比例变换设点P(x,y)经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比例变换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为P''(x'',y'')设点P(x,y)经过第一次比例变换T1后的坐标为P’(x’,y’)设点P’(x’,y’)经第二次比例变换T2后的坐标为P’’(x’’,y’’)第38页，课件共48页，创作于2023年2月得到连续比例变换的复合矩阵T为：

即连续的比例变换是比例系数的相乘连续比例变换第39页，课件共48页，创作于2023年2月连续旋转变换设点P(x,y)经过第一次旋转变换T1(旋转角度为θ1)和第二次旋转变换T2(旋转角度为θ2)后的坐标为P''(x'',y'')设点P(x,y)经过第一次旋转变换T1后的坐标为P'(x',y')设点P’(x’,y’)经第二次旋转变换T2后的坐标为P''(x'',y'')第40页，课件共48页，创作于2023年2月得到连续旋转变换的复合矩阵T为：

第41页，课件共48页，创作于2023年2月相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的缩放变换平移变换，即将该参考点移到坐标原点处作相对于原点的缩放变换平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置相对任一参考点的旋转变换平移变换，即将该参考点移到坐标原点处作相对于原点的旋转变换平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置第42页，课件共48页，创作于2023年2月Oxy相对于任意点(x0,y0)的比例变换(x0,y0)(0,0)相对任一参考点的缩放变换平移平移比例第43页，课件共48页，创作于2023年2月相对任一参考点的旋转变换Oxy相对于任意点(x0,y0)的旋转变换θ(x0,y0)(0,0)平移平移旋转第44页，课件共48页，创作于2023年2月例：求点P(x,y)相对任一点M(x0,y0)作缩放变换的变换矩阵。其中缩放系数为(Sx,Sy)解：平移得平移矩阵T1为：

进行比例变换得缩放变换矩阵T2为： 反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵T3为：相对任一参考点的二维几何变换第45页，课件共48页，创作于2023年2月因此，复合变换