浙江省温州市晓坑中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

浙江省温州市晓坑中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为A．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．12参考答案：D略2.已知双曲线的左右焦点分别为,若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A．

B． C．

D．参考答案：A3.已知全集，集合，，则(CUM)∩N＝A．

B．

C．

D．参考答案：C4.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32参考答案：B【考点】系统抽样方法．【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B．5.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A） （B） （C） （D）参考答案：A不等式f(x)≥为－f(x)≤≤f(x)

(*)当x≤1时，(*)式即为－x2+x－3≤≤x2－x+3，－x2+－3≤a≤x2－+3，又－x2+－3=－(x－)2－≤－(x=时取等号)x2－+3=(x－)2+≥(x=时取等号)所以－≤a≤当x＞1时，(*)式为－x－≤≤x+，－－≤a≤+又－－=－(+)≤(当x=时取等号)+≥(当x=2时取等号)所以≤a≤2，综上－≤a≤2．故选A．6.已知为正实数，则“且”是“”的（▲）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B7.实数x，y满足，则xy的最小值为（）A．2 B． C． D．1参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用；三角函数的化简求值．【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+x﹣y+1，由基本不等式可得（x﹣y+1）+x﹣y+1≤2，或（x﹣y+1）+x﹣y+1≤﹣2，进而可得cos（x+y﹣1）=±1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．【解答】解：∵，∴2cos2（x+y﹣1）=∴2cos2（x+y﹣1）=，故2cos2（x+y﹣1）=x﹣y+1+，由基本不等式可得（x﹣y+1）+≥2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y﹣1）=2，故cos2（x+y﹣1）=1，即cos（x+y﹣1）=±1，此时x﹣y+1=1，即x=y，∴x+y﹣1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x?x=（）2，当k=0时，xy的最小值，故选：B8.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（

）A．24 B．32

C．48 D．64

参考答案：略9.若角的终边上有一点，且，则的值为（

）A.

B.

C.或

D.或参考答案：C略10.设,则“且”是“且”的(

)A．充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：Ａ二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知是⊙的直径，是⊙的切线，过作弦，若，，则

．参考答案：12.如图，线段的长度为1，端点在边长不小于1的正方形的四边上滑动，当沿正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若的周长为，其围成的面积为，则的最大值为

．；参考答案：13.在△中，分别为的对边，三边、、成等差数列，且，则的值为

．参考答案：

14.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.参考答案：315.在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则?的最大值为．参考答案：18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可分别以直线DC，DA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，进而求出A，E的坐标，并设F（x，y），从而可求出，这样设z=4x﹣y+2，利用线性规划的方法即可求出z的最大值，即求出数量积的最大值．【解答】解：据条件，分别以边DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，2），E（4，1），设F（x，y），x0≤x≤4，0≤y≤2；∴；∴；设z=4x﹣y+2，则y=4x+（2﹣z）；∴2﹣z是直线y=4x+（2﹣z）在y轴上的截距，截距最小时，z最大；可看出直线y=4x+（2﹣z）过点C（4，0）时z最大；即0=16+2﹣z，z=18．故答案为：18．16.已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当时，的最小值是

。参考答案：当时，，所以，即，因为，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线，由抛物线的定义可知,当，三点共线时，最小，此时为，又焦点坐标为,所以，即的最小值为，所以的最小值为。17.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值为

参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值．参考答案：（Ⅰ）由点在直线上，得，故，∴．从而．

-----------------2分所以椭圆方程为．

-----------------4分（Ⅱ）以为直径的圆的方程为．即．其圆心为,半径．-----------------6分因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离．

所以，解得．所求圆的方程为．----------------9分（Ⅲ）方法一：由平几知：，直线，直线，由得．

----------------11分∴．所以线段的长为定值．

-----------------13分方法二：设，则．．

-----------------11分又．所以，为定值．

-----------------13分

【解析】略19.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？参考答案：(1)当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝(2)设利润为y元，则当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100＜x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.∴y＝当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2000；当100＜x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050.显然6050＞2000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．20.（本小题满分12分）

如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4.（I）求证：AC⊥平面BCE；（II）求三棱锥E-BCF的体积．

参考答案：解：（Ⅰ）过C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC,所以四边形ADCM为矩形．…………2分所以AM=MB=2，又因为AD=2，AB=4,所以AC=，CM=S2，BC=所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC；…………4分因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE,所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，……6分又因为BE平面BCE，BC平面BCE，BE∩BC=B所以AC⊥平面BCE．…………8分（II）因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，又因为CM⊥AB，AF平面ABEF，AB平面ABEF，AF∩AB=A所以CM⊥平面ABEF．……10分……12分21.（本题满分15分）已知函数R)．（Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程；（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：当时，．，

……2分因为切点为（），则，

……4分所以在点（）处的曲线的切线方程为：．

……5分（Ⅱ）解法一：由题意得，即．

……9分（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分），

……10分因为，所以恒成立，故在上单调递增，

……12分要使恒成立，则，解得．……15分解法二：

……7分

（1）当时，在上恒成立，故在上单调递增，即．

……10分

（2）当时，令，对称轴，则在上单调递增，又

①当，即时，在上恒成立，所以在单调递增，即，不合题意，舍去

……12分②当时，，不合题意，舍去

……14分综上所述：

……15分22.（16分）设函数f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1），易得函数在所求点的斜率．（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．

（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1﹣m）1﹣m（1﹣m，1+m）1+m（1+m，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数f（x）在x=1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．

（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得