四川省达州市南坝中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析

四川省达州市南坝中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P是曲线上一点，则点P到直线距离的最小值为

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.复数在复平面内对应的点在（

）A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限参考答案：B【分析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点的位置。【详解】，对应的点的坐标为，所对应的点在虚轴上，故选：B。【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题。3.已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴设AE，SD所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．4.两条异面直线所成角为，则

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略5.定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数，则满足的x的集合为A．{x|x>1}

B．{x|－1<x<1}C．{x|x<－1或x>1}

D．{x|x<1}

参考答案：D6.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（

）A．-2835

B.2835

C.21

D.-21参考答案：A7.若是任意实数，则方程x2+4y2sin=1所表示的曲线一定不是(

)A．圆

B．双曲线

C．直线

D．抛物线参考答案：D略8.抛物线y=的焦点坐标是（）A．（，0） B．（0，） C．（0，1） D．（1，0）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为（0，1）故选C．9.已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于两点，且弦被点平分，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.若则△ABC为

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A.等边三角形

B.等腰三角形

C.有一个内角为30°的直角三角形

D.有一个内角为30°的等腰三角

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲，乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为

。参考答案：12.给出下列五个命题：

①

函数的图像可由函数（其中且）的图像通过平移得到;

②

在三角形ABC中若则;

③

已知是等差数列的前项和，若则;

④

函数与函数的图像关于对称;

⑤

已知两条不同的直线和两不同平面.，则其中正确命题的序号为：_

__．参考答案：①②⑤13.若圆的方程是，则该圆的半径是

参考答案：114.设的内角的对边分别为，若,则

．参考答案：215.△ABC中，，则BC边上中线AD的长为_____．参考答案：【分析】通过余弦定理可以求出的长，而，用余弦定理求出的表达式，代入上式可以直接求出的长。【详解】由余弦定理可知：,设，由余弦定理可知：而，即解得，故边上中线的长为。【点睛】本题考查了利用余弦定理求三角形中线长的问题。本题也可以应用中点三角形来求解，过程如下：延长至，使得,易证出,,由余弦定理可得：.。16.定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中是坐标原点，。已知，则的坐标为_________。参考答案：略17.若命题，命题点在圆内，则p是q的

条件.参考答案：充要由点与圆的位置关系有：若点在圆内，则；若点在圆上，则；若点在圆外，则；据此可知：是的充要条件.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）如图：△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。①证明：AB·AC=AD·AE；②若△ABC的面积S=AD·AE，求∠BAC的大小。参考答案：证明：∵

∴

（2分）

∵

∴

（4分）

∴

∴

（6分）

(2)∵

(10分)

∴

90°

(12分)略19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝＋lnx(a≠0，a∈R)．求函数f(x)的极值和单调区间．参考答案：f(x)的极小值为1,递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)因为f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以x＝1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．20.已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn=qSn﹣1+1，其中q＞0，n＞1，n∈N*．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{an}的通项公式；（2）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=3，求e+e+…+e．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（1）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{an}的通项公式．（2）由（1）可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=3，分析可得e2=q=2，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+8n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）：∵Sn+1=qSn+1①，∴当n≥2时，Sn=qSn﹣1+1②，两式相减可得an+1=q?an，即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{an}的首项为1，∴a1+a2=S2=q?a1+1，∴a2=a1?q，∴数列{an}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3=2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1×2n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）由（1）可得数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1；若e2=3，则e2==3，解可得a2=2，则a2=q=2，即q=2，an=1×qn﹣1=qn﹣1=（2）n﹣1，则en2=1+an2=1+8n﹣1，故e12+e22+…+en2=n+（1+8+82+…+8n﹣1）=n+【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．21.已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0，求解集即可．【解答】解：（1）∵函数y=的定义域为R，∴a=0时，满足题意；a＞0时，△=4a2﹣4a≤0，解得0＜a≤1；∴a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．【点评】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．22.（本题满分10分）甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动。甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟都是走5m。（1）问：甲、乙开始运动后几分钟第一次相