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文档简介
上海中学东校2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.等比数列的各项均为正数,且,则为(
)A、12 B、10
C、8
D、参考答案:B略2.曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为,则点P的坐标为(
) A.(0,0) B.(2,4) C.(,) D.(,)参考答案:D考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:求出原函数的导函数,得到函数在P点处的导数,由导数值等于1求得P的横坐标,则答案可求.解答: 解:∵y=x2,∴y′=2x,设P(x0,y0),则,又曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为,∴2x0=1,.∴.∴点P的坐标为(,).故选:D.点评:本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程,过曲线上的某点的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是基础题.3.函数的图象如图,则的解析式和的值分别为(
)A.
,
B.
,C.
,D.
,参考答案:B4.一个体积为12的正三棱柱的三视图,如图所示,则此正三棱柱的侧视图面积为()A.12 B.8 C.8 D.6参考答案:D【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是正三棱柱,结合图中数据,求出三棱柱的高与侧视图的面积.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是正三棱柱,且底面正三角形一边上的高为2,∴底面三角形的边长为=4,∴三棱柱的体积为V三棱柱=×4×2h=12,三棱柱的高为h=3;∴侧视图的面积为S侧视图=2×3=6.故选:D.5.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asinωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象()A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度参考答案:B【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点求出φ的值,可得凹函数f(x)的解析式,再利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.【解答】解:由函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象,可得A=2,∵,∴T=π,ω=2,f(x)=2cos(2x+φ),将代入得,∵﹣π<φ<0,∴.故可将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到l的图象,即可得到g(x)=Asinωx的图象,故选:B.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点求出φ的值,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.6.定义在R上图像为连续不断的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x+4),当x>2时,f(x)单调递增,如果x1+x2<4,且(x1-2)(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒小于0
B.恒大于0
C.可能为0
D.可正可负参考答案:A7.下列选项中,说法正确的是(
)A.“”的否定是“”B.若向量满足,则与的夹角为钝角C.若,则D.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件参考答案:8.设函数f(x)=,若f(a)=4,则实数a=()A.﹣4或﹣2 B.﹣4或2 C.﹣2或4 D.﹣2或2参考答案:B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.【专题】函数的性质及应用.【分析】分段函数分段处理,我们利用分类讨论的方法,分a≤0与a>0两种情况,根据各段上函数的解析式,分别构造关于a的方程,解方程即可求出满足条件的a值.【解答】解:当a≤0时若f(a)=4,则﹣a=4,解得a=﹣4当a>0时若f(a)=4,则a2=4,解得a=2或a=﹣2(舍去)故实数a=﹣4或a=2故选B【点评】本题考查的知识点是分段函数,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.9.设,,,则的大小关系是A.
B.
C.
D.
参考答案:A略10.已知定义在R上的偶函数f(x)满足.f(x)>0,.f(x+2)=对任意xR恒.成立.则f(2011)等于()A.1B.2C.3D.4参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果球的内接正方体的表面积为,那么球的体积等于
参考答案:12.设是单位向量,且的最大值为________.参考答案:13.设是公比大于1的等比数列,为的前项和,已知,且构成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项和Tn.参考答案:(1)由已知得解得a2=2,可得a1=,a3=2q.又S3=7,可知+2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2=.由题意q>1,∴q=2,∴a1=1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由于,n=1,2,…,由(1)得,∴,∴∴
①
②①-②得:即∴14.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为220元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价(元)6789101112日均销售量(桶)480440400360320280240
根据以上数据,这个经营部要使利润最大,销售单价应定为
元。参考答案:15.已知数列{an}满足:,且,则_____________;参考答案:由可得:,结合有:,,,则数列是周期为3的数列,则.
16.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则,,,成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则
,____________成等比数列.参考答案:
由于等差数列的特征是差,等比数列的特征是比,因此运用类比推理的思维方法可得:,,成等比数列。
17.已知,则的值为_________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.【选修4—5:不等式选讲】设函数(I)画出函数的图象;(II)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.参考答案:解:(I)函数可化为 其图象如下: (II)关于的不等式有解等价于 由(I)可知,(也可由得) 于是
,解得
略19.(13分)如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DD1⊥平面ABCD,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.(Ⅰ)证明:BD⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)证明:CC1∥平面A1BD;(Ⅲ)若DD1=AD,求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值.参考答案:【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)利用余弦定理和已知条件求得BD和AD的关系,进而求得AD2+BD2=AB2,推断出AD⊥BD,依据DD1⊥平面ABCD,可知DD1⊥BD,进而根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面ADD1A1.(Ⅱ)连接AC,A1C1,设AC∩BD=E,连接EA1,根据四边形ABCD是平行四边形,推断出EC=AC,由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC,且A1C1=EC,进而推断出四边形A1ECC1是平行四边形,因此CC1∥EA1,最后利用线面平行的判定定理推断出CC1∥平面A1BD.(Ⅲ)直线EA1与平面ADD1A1所成角=直线CC1与平面ADD1A1所成角.【解答】(Ⅰ)证明:∵AB=2AD,∠BAD=60°,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcos60°=3AD2,∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,∵DD1⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD.∴DD1⊥BD,又AD∩DD1=D,∴BD⊥平面ADD1A1.(Ⅱ)证明:连接AC,A1C1,设AC∩BD=E,连接EA1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴EC=AC,由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC,且A1C1=EC,∴四边形A1ECC1是平行四边形,因此CC1∥EA1,又∵EA1?平面A1BD,∴CC1∥平面A1BD;(Ⅲ)解:直线EA1与平面ADD1A1所成角=直线CC1与平面ADD1A1所成角,∵BD⊥平面ADD1A1,∴A1D为EA1在平面ADD1A1上的射影,∴∠EA1D是直线EA1与平面ADD1A1所成角,∵DD1=AD,AB=2AD,AD=A1B1M∠BAD=60°,∴A1D1=AD,DE=AD,A1E=AD,∴sin∠EA1D=,∴直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值为.【点评】本题主要考查了线面平行,线面垂直的判定,考查线面角.考查了学生对立体几何基础知识的掌握.20.(本题满分14分)如图5,在四棱锥中,底面为直角梯形,,垂直于底面,分别为的中点。
(1)求证:;(2)求平面与平面所成的二面角的余弦值;(3)求点到平面的距离.参考答案:解:(1)证明:因为是的中点,,所以
(1分)
由底面,得,
(2分)又,即,又在平面内,
(3分)
平面,所以
,
(4分)又在平面内,
平面,。
(5分)(2)方法一:
由(1)知,平面,所以
,
由已知可知,
所以是平面与平面所成的二面角的平面角
(6分)在直角三角形中,
(7分)因为直角三角形斜边的中点,所以
(8分)在直角三角形中,
(9分)即平面与平面所成的二面角的余弦值为.
(10分)方法二:如图建立空间直角坐标系,则,,
(6分)设平面的法向量为,则即,令,则,所以平面的一个法向量为
显然是平面的一个法向量
(7分)设平面与平面所成的二面角的平面角为,则
(9分)即平面与平面所成的二面角的余弦值为.
(10分)(3)由已知得,
(11分)
(12分)设点到平面的距离为,则
(13分)由,即,得
即点到平面的距离.
(14分)21.已知直线l的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程是,(为参数).(1)求直线l被曲线C截得的弦长;(2)从极点作曲线C的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.参考答案:(1).由题意可知,直线l的直角坐标系方程是,1分曲线C的普通方程是,
2分则圆心C到直线l的距离,3分故所求的弦长是.5分(2).从极点作曲线C的弦,弦的中点的轨迹的参数方程为,(为参数),且,其普通方程为,8分极坐标方程为,化简得.
10分22.已知函数f(x)=2ex﹣ax﹣2(a∈R)(1)讨论函数的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】(1)先求函数的定义域,易知x∈R,然后对原函数求导,借助于函数y=2ex的图象,通过变换得到f′(x)=2ex﹣a的图象,解不等式得到原函数的单调区间.(2)这是一道不等式恒成立问题,因此只需当x≥0时,f(x)min≥0即可,再结合(1)中对函数单调性的研究,确定f(x)的最小值,则问题可解.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=2ex﹣a.若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;若a>0,令f′(x)=0得x=ln,易知当x∈(﹣∞,ln)时,f′(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,ln)上单调递减;当x∈(ln,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在[ln,+∞)上单调递增;综上,a≤0时,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;a>0时,f(x)在(﹣∞,ln)上单调递减,在ln,+∞)上单调递增.(Ⅱ)注意到f(0)=0.(1)当a≤0时,则当x∈[0,+∞
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