上海中学东校2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

上海中学东校2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列的各项均为正数，且，则为（

）A、12 B、10

C、8

D、参考答案：B略2.曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为(

) A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）参考答案：D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到函数在P点处的导数，由导数值等于1求得P的横坐标，则答案可求．解答： 解：∵y=x2，∴y′=2x，设P（x0，y0），则，又曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，∴2x0=1，．∴．∴点P的坐标为（，）．故选：D．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．3.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（

）A．

，

B．

，C．

，D．

，参考答案：B4.一个体积为12的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（）A．12 B．8 C．8 D．6参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为2，∴底面三角形的边长为=4，∴三棱柱的体积为V三棱柱=×4×2h=12，三棱柱的高为h=3；∴侧视图的面积为S侧视图=2×3=6．故选：D．5.函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：B【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2cos（2x+φ），将代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到g（x）=Asinωx的图象，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.定义在R上图像为连续不断的函数y=f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能为0

D．可正可负参考答案：A7.下列选项中，说法正确的是（

）A．“”的否定是“”B．若向量满足，则与的夹角为钝角C．若，则D．命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件参考答案：8.设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2参考答案：B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】函数的性质及应用．【分析】分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．【解答】解：当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选B【点评】本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．9.设，，，则的大小关系是A．

B．

C．

D．

参考答案：A略10.已知定义在R上的偶函数f（x）满足.f(x)>0,.f(x+2)＝对任意xR恒.成立．则f(2011）等于（）A.1B.2C.3D.4参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于

参考答案：12.设是单位向量，且的最大值为________．参考答案：13.设是公比大于1的等比数列，为的前项和，已知，且构成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和Tn.参考答案：(1)由已知得解得a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由题意q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由于，n＝1，2，…，由(1)得，∴，∴∴

①

②①－②得:即∴14.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为220元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价（元）6789101112日均销售量（桶）480440400360320280240

根据以上数据，这个经营部要使利润最大，销售单价应定为

元。参考答案：15.已知数列{an}满足：，且，则_____________；参考答案：由可得：，结合有：，，，则数列是周期为3的数列，则.

16.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则，，，成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则

，____________成等比数列.参考答案：

由于等差数列的特征是差，等比数列的特征是比，因此运用类比推理的思维方法可得：，，成等比数列。

17.已知，则的值为_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.【选修4—5：不等式选讲】设函数（I）画出函数的图象；（II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．参考答案：解：（I）函数可化为 其图象如下： （II）关于的不等式有解等价于 由（I）可知，（也可由得） 于是

，解得

略19.（13分）如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD；（Ⅲ）若DD1=AD，求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和已知条件求得BD和AD的关系，进而求得AD2+BD2=AB2，推断出AD⊥BD，依据DD1⊥平面ABCD，可知DD1⊥BD，进而根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面ADD1A1．（Ⅱ）连接AC，A1C1，设AC∩BD=E，连接EA1，根据四边形ABCD是平行四边形，推断出EC=AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC，且A1C1=EC，进而推断出四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1∥EA1，最后利用线面平行的判定定理推断出CC1∥平面A1BD．（Ⅲ）直线EA1与平面ADD1A1所成角=直线CC1与平面ADD1A1所成角．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcos60°=3AD2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD．∴DD1⊥BD，又AD∩DD1=D，∴BD⊥平面ADD1A1．（Ⅱ）证明：连接AC，A1C1，设AC∩BD=E，连接EA1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴EC=AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC，且A1C1=EC，∴四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1∥EA1，又∵EA1?平面A1BD，∴CC1∥平面A1BD；（Ⅲ）解：直线EA1与平面ADD1A1所成角=直线CC1与平面ADD1A1所成角，∵BD⊥平面ADD1A1，∴A1D为EA1在平面ADD1A1上的射影，∴∠EA1D是直线EA1与平面ADD1A1所成角，∵DD1=AD，AB=2AD，AD=A1B1M∠BAD=60°，∴A1D1=AD，DE=AD，A1E=AD，∴sin∠EA1D=，∴直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定，考查线面角．考查了学生对立体几何基础知识的掌握．20.（本题满分14分）如图5，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。

(1)求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.参考答案：解：（1）证明：因为是的中点，，所以

(1分)

由底面，得，

(2分)又，即，又在平面内，

(3分)

平面，所以

，

(4分)又在平面内，

平面，。

(5分)（2）方法一：

由（1）知，平面，所以

，

由已知可知，

所以是平面与平面所成的二面角的平面角

(6分)在直角三角形中，

(7分)因为直角三角形斜边的中点，所以

(8分)在直角三角形中，

(9分)即平面与平面所成的二面角的余弦值为.

(10分)方法二：如图建立空间直角坐标系，则，，

(6分)设平面的法向量为，则即，令，则，所以平面的一个法向量为

显然是平面的一个法向量

(7分)设平面与平面所成的二面角的平面角为，则

(9分)即平面与平面所成的二面角的余弦值为.

(10分)(3)由已知得，

(11分)

(12分)设点到平面的距离为，则

(13分)由，即，得

即点到平面的距离.

(14分)21.已知直线l的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程是,（为参数）.（1）求直线l被曲线C截得的弦长;（2）从极点作曲线C的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.参考答案：（1）.由题意可知,直线l的直角坐标系方程是,1分曲线C的普通方程是,

2分则圆心C到直线l的距离,3分故所求的弦长是.5分（2）.从极点作曲线C的弦,弦的中点的轨迹的参数方程为,（为参数）,且,其普通方程为,8分极坐标方程为,化简得.

10分22.已知函数f（x）=2ex﹣ax﹣2（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先求函数的定义域，易知x∈R，然后对原函数求导，借助于函数y=2ex的图象，通过变换得到f′（x）=2ex﹣a的图象，解不等式得到原函数的单调区间．（2）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x≥0时，f（x）min≥0即可，再结合（1）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2ex﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；若a＞0，令f′（x）=0得x=ln，易知当x∈（﹣∞，ln）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在[ln，+∞）上单调递增；综上，a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在ln，+∞）上单调递增．（Ⅱ）注意到f（0）=0．（1）当a≤0时，则当x∈[0，+∞