专题19：椭圆(解析版)-备战高考数学(理)三轮复习查缺补漏特色专题

焦点的位置焦点在焦点在轴上轴上图形标准方程范围且且、、顶点、、、、轴长焦点短轴的长长轴的长焦距对称性关于轴、轴、原点对称e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁离心率直线与圆锥曲线的位置关系⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====一、单选题xy2C:21的一个焦点坐标为(1,0)m，则实数的值为（）1．若椭圆5mA．9B．6C．4D．1【答案】C【分析】a,b计算可得结果.标准方程可得，根据a2bc根据椭圆的22【详解】因为椭圆的焦点(1,0)在x轴上，所以a25，b2m，所以c2a2b25m，所以5m1，解得m4.故选：Cx22．已知椭圆C:y21，则椭圆C的离心率为（）2133B．12C．2A．D．22【答案】C【分析】根据标准方程得出a2,b1，再由ca2b2即可求解.【详解】由椭圆C:x2y21，可知a2,b1，2所以c，a2b12c12.所以e22a故选：C3,03．已知椭圆xy221的一个焦点为F，则这个椭圆的方程是（）a22A．xyx2y21221B．D．3242C．xyx2y212215262【答案】C【分析】利用椭圆的简单几何性质求解．【详解】解：椭圆xy221的一个焦点为F(3,0)，a22b22，3，c试卷第3页，总18页a2b2c2325，xy2椭圆方程为．2152故选：C．x2y2(2,0)m1的右焦点为，则（）4．已知椭圆16m2C．23D．25A．23B．25【答案】C【分析】m根据基本量之间的关系可求的值.【详解】(2,0)因为右焦点为，故焦点x在轴上且16m4，故m23，2故选：C.5．下列椭圆中长轴长是短轴长的两倍的是（）yx2y21xy212x21xy22A．B．1C．84D．2424124【答案】A【分析】分别分析每个选项中2a,2b的值，然后判断是否符合题意.【详解】2a4,2b2，所以长轴长是短轴长的A：两倍，符合题意；B：2a4,2b22，不符合题意；C：意.2a42,2b4，不符合题意；D：2a43,2b4，不符合题故选：A.y2C:x21，下列结论正确的是（）6．已知椭圆4A．焦点坐标(20)B．长轴长为4C．短轴长为1D．焦距为25【答案】B【分析】试卷第4页，总18页求出a2,b1,c413，再由椭圆的性质得出答案.【详解】y2C:x21的a2,b1,c413椭圆40,3242b2则焦点坐标，长轴a，短轴，焦距2c23故选：BF,F|MF||MF|是定值，命题乙：127．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：M12点M的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】F,FM的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M到两定点12解：若点F,F|MF||MF|2a(a0，且为常数）成立是定值．a12的距离之和12F,FM到两定点的距离之和12|MF||MF|2a(a0，且为常数），当a12若动点2a|FF|，此时的轨迹不是椭圆．12甲是乙的必要不充分条件．故选：．B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．xy22C:1(ab0)的一个焦点为8．已知椭圆F，点是椭圆C上的一个动点，Pab22|PF|的最小值为31，且存在点，使得△OPF（点为坐标原点）为正三角形，OP则椭圆C的焦距为（）2A．B．22C．234D．【答案】D【分析】试卷第5页，总18页F为椭圆C的右焦点，为椭圆的左焦点，连接，利用椭圆的定义，以CF1|PF|C及的最小值，列方程组可得椭圆的焦距．不妨设F为椭圆C的右焦点，为椭圆的左焦点，连接FC11OFOFOPPFc所以因为△OPF为等边三角形，，所以△是直角三角FPF11c|PF|PFc3c2a，所以e1a2PF3c．因为所以131．因形，314cac31，所以2，椭圆的焦距为C，所以|PF|为的最小值为31故选：Dy2xy1的两条x1(a1)的一个焦点，若过点可作圆F222a29．已知点为椭圆Fa且这两条切线互相垂直，切线，则（）B．3C．23D．A．2【答案】B【分析】数形结合可求出焦半径，即可由椭圆abc中,,的关系求得参数a.【详解】F0,c，不妨令为上焦点，即F由图可知切线相互垂直，则OFAOFB45，OA=1，2，即，c2又OFa2b2c23a3.故选：Bxy22C:1的两个焦点，若椭圆F，F是椭圆10．设C上存在点满足M3m12FMF120m，则的取值范围是（）12390,4,40,4,A．B．4390,12,40,12,C．D．4【答案】C【分析】，利用FMO60，1xy分类讨论焦点在轴与轴两题意，写出a2,b2,c2种情况，由m列不等式求解的范围在直角三角形中利用正切值.【详解】abm(m0)，则3,22xc3m，椭圆由题意可知，若焦点在轴上，2C上存在FMF120，如图FMO60，即点M满足所示，则11234tanFMOctan60m，所以c3b，即3m3m，得；若焦点在轴y1b上，2FMO60，即am,b23(m3)，则cm3，则21tanFMOctan60m，得39c3b，即，所以12；m1b30,12,4m所以的取值范围是.故选：C.xy22F,F1AB,F的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若111．已知为椭圆91612FAFB10，则AB（）222A．4B．6C．10D．【答案】C【分析】FAFAFBFB4aFAFB10即可求解.22根据椭圆的定义可得，由1212【详解】xy221，可得a4由916FAFAFBFB4a16，根据椭圆的定义1212所以ABFAFB6.11故选：Cx2y1的焦点12．椭圆坐标是（）2221,0A．20,1,00,B．C．D．22【答案】C【分析】先将椭圆方程化为标准形式，即可求出焦点坐标.y22a1,b21c112x，且焦点在轴上，因此2222,0.所以焦点坐标为2故选：C.二、填空题13．设是椭圆xy221上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为_____.PP4322【答案】8【分析】a由椭圆方程求出，再根据椭圆的定义可求得结果.【详解】xy2由221a4，，得4322a8由椭圆的定义可得到该椭圆的两个焦点的距离之和为.P8故答案为：14．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上半径的平方等于长半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆､短半轴.两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆xy2若椭圆21xy8，则b2___________.的蒙日圆为226b2【答案】2【分析】根据给定结论求解即可.【详解】xy8半径的平方为6b8，故b22由题可知，蒙日圆228，故有2故答案为：2xy2．设分别是椭圆21(0)的左、右焦点，过作轴的垂线与xCF,FF2C:a15212a2交于A,B两点，若ABF为正三角形，则的值为．a___________1【答案】3【分析】23Ac,c利用已知条件求出，代入椭圆方程，结合2，解方程组即可得答ac223案．【详解】xy2:a21(0)的左、右焦点，2aF,F分别是椭圆C212则2c22①，ax过作轴的垂线与交于F2CA，两点，B233ABF因为是等边三角形，所以AFFFtan30c121223c2c221②3Ac,c则，代入椭圆方程可得3a2a3由①②，结合ac0可得，c1故答案为：3．21ab0的左焦点为F，xy216．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：a2b2F且斜率为3的直线l与C在第A，若AOF60，则的C过点二象限的交点为离心率为___________.试卷第10页，总18页【答案】31【分析】AFO60，即得到AOF为正三角形，得到l的斜率为3，得先根据直线FAF90，再根据椭圆的定义得到2ac3c，即可求出椭圆C的离心率为131.【详解】解：设C的右焦点为，F1l的斜率为3，得AFO60，由直线又AOF60，AOF为正三角形，FAF90；即1FF2c，设1AF3c，则12aAFAFc3c，1c31，231a即椭圆C的离心率为31.故答案为：31.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到关于a,b,c的等量关系．三、解答题x2y21(ab0)17．设椭圆：F的焦点为3,0、F3,0，且该椭圆C12a2b213,过点.2（1）求椭圆C的标准方程；Mx,y满足MFMFC上的点（2）若椭圆y，求的值．00120试卷第11页，总18页3.3x2y1【答案】（1）；（2）y240【分析】c3310，解方程组即可求解；（1）由题意可得a4b22bca222x2代入yMFMF0，即0xy230，将点Mx,y1（2）由题意可得20240012x204y21，解方程组即可求解可得.0【详解】c3310，解得a4，，1（1）由题意得，2b2a4babc22222x2所以椭圆的标准方程为y1C24Mx,yMFMF，12（2）点满足00y0MFMF0，且则有0123x,y，00MF3x,y，MF1002MFMF3x3xyyx2y230①，即12000000x204Mx,y1②，而点在椭圆C上，则y20001取立①②消去x，得y3，20203.3所以y0【点睛】MFMF0，可得yMFMF由2关键点点睛：第二问求的关键点是利用0112x204x2y230，再利用Mx,y1即可求解.在椭圆C上可得y200000试卷第12页，总18页F1,0O，左焦点为，长轴长为118．已知椭圆C的中心在原点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；22.若OAOB，求直线AB的方程.直线交椭圆于A，C两点，BF（Ⅱ）过左焦点的1x2y【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）x22y20或2x2y20.22【分析】坐标和长轴长可得c,a，进而可得椭圆方程；（Ⅰ）根据焦点（Ⅱ）设出直线方程，并与椭圆方程联立，根据韦达定理求出2m1m22，结合OAOB可求，进而求出直线方程.yym22,yym1212【详解】F1,0222；（Ⅰ）因为左焦点为，长轴长为，所以ca1,1x2所以b2a2c21，即椭圆C的标准方程为1.y22（Ⅱ）设直线AB的方程为xmy1Ax,y,Bx,y，，2112x2y222联立，得m22y22my10；xmy12m1m22，4m24m202yym22,yy2，121xxmy1my1m2yymyy1，12121212因为OAOB，所以OAOBxxyy0，1212m12m222m1yymyy10，即10，解得m22所以21212m22m2，故直线AB的方程为2x2y20或2x2y20.32xy21219．已知椭圆C：1(a0,b0)a2b21,P且过点．的离心率为，2（）求椭圆的标准方程；1C（）直线l:yx12与椭圆C交于M、N两点，为O坐标原点，若点满足EOEt(OMON)，且点在椭圆EC上，求实数t的值．7.xy22【答案】（1；（2）t1）432试卷第13页，总18页【分析】（1）根据离心率得到a,b,c的关系，再代入点的坐标求椭圆方程；（2）直线方程与Pxx，以及2yy，并利用向量相等表示点E的椭圆方程联立，得到根与系数的关系112t.坐标，代入椭圆方程，求【详解】解：（1）c1a2c，所以a4c2,b23c2，所以椭圆方程为：xy22c2，2a2433过点P1,，29，所以椭圆方程为：xy221，1所以c2144343（2）设Mx,y,Nx,y，联立211287xyxx2217x8x801243yx1287xx1286yyx1x12所以7712127786tttt8677又OEt(OMON)txx,tyy,，所以点E,，121264t236t21t27t带入椭圆中：49497．43421ab0的短轴长为，离心率e222xy2220．已知椭圆C：.a2b2（1）求椭圆C的方程；2y22（2）若直线l：ykxm与椭圆交于不同的两点A，，与圆x3相切于点M.B证明：OAOB(O为坐标原点).【答案】（1）x21；（2）证明见解析.y22【分析】（1）由条件直接算出答案即可；试卷第14页，总18页2m1k，设，Ax,yBx,y（2）由条件可得22，联立直线与椭圆的方程31122xxxx消元，然后韦达定理可得、，然后证明1212OAOBxxyyxxkxmkxm0即可.12121212【详解】2b2b1.（1）∵，∴2又ec，a2b2c2，a2∴a22.∴椭圆C的方程x2y1；为2223l：ykxm与圆y2（2）∵直线x2相切，223m∴d，即m1k.2231k2ykxm由y，消去并整理得，x2y21212kx24kmx2m220.2Ax,yBx,y设，，21122.2m212k24kmxx则，xx12k21212∵OAOBxxyyxxkxmkxm121212121kxxkmxxm2212122m224km12k21k12k2kmm2221k2k220，3m22k22212k212k2∴OAOB.xy2C:21ab0左右焦点分别为F(c,0),Fc,0Р，点为．已知椭圆2112ab22FPF90，且△FPF的面积为c2.2椭圆C上一点，满足121试卷第15页，总18页（）求椭圆C的离心率；11yx2与椭圆C交于两点，点坐标为，若M,N2,0（）已知直线2Q2MQ3NQ，求椭圆的方程C.2【答案】（1）；（2）答案见解析.2【分析】PFPF2aFPF90PFPF2b2，再根据12（1）利用椭圆定义和求得1212△FPF的面积为c求解；2121x2y2a2与直线y(x2)联立，由韦达定理得到（2）椭圆方程224a2，再根据4yy,yy=MQ3NQ，分MQ3NQ和MQ3NQ求361212解.【详解】PFPF2a，①（1）由椭圆定义可得12又FPF90，所以PF2PF24c2，②1212PFPF2b2△FPF的面积为，所以2，即2，cac222①和②可得，所以b2b21212所以椭圆C的离心率为；21x2y2a2，与y(x2)（2）椭圆方程可化为联立可得：224a，36y28y4a20642440a2，由可得24a243设Mx,y,Nx,y，所以yy2,yy=12，③6112121又直线y(x2)MQ3NQQ过点，且MQ2x,y，，211NQ2x,y.22yy4y4，可得y1，时，则1y3y（i）当MQ3NQ时，即3312222试卷第16页，总18页a24，23则362x2y2所以椭圆C的方程为1；2yy2y4，则y2，y3y（ii）当MQ3NQ，即时，则331212222344a2a124，，解得232yy3y23可得36122xy22所以椭圆C的方程为1.126【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2、的值，a