北京第一四二中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

北京第一四二中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知函数（）的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只需把的图象（

）A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：A3.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是

(

)A．－2B．0

C．1

D．2参考答案：D略4.已知正四面体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且，则截面△ABE的面积是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D5.已知集合，则=

(A)(-1,3)

(B)(0,4)

(C)(0,3)

(D)(-1,4)参考答案：略6.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A.2016

B.2

C.

D.参考答案：B【知识点】程序框图．L1

解析：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k＜2016，s=，k=2满足条件k＜2016，s=2．k=3满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k＜2016，s=，k=5…观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k＜2016，s=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．故选：B．【思路点拨】模拟执行程序框图，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律可知，s的取值以3为周期，由k等于2015=3*671+2时，满足条件k＜2016，s=2，k=2016时不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．7.已知是三个相互平行的平面，设之间的距离为，之间的距离为.直线与分别相交于点，则是的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：8.若z=3+4i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求出|z|，代入得答案．【解答】解：∵z=3+4i，∴|z|=5，∴=．故选：C．9.

=A.1

B.

C.

D.

参考答案：D略10.方程的解的个数为

．参考答案：2略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与曲线相交，截得的弦长为

。参考答案：略12.（1﹣x）（1+2x）5展开式按x的升幂排列，则第3项的系数为．参考答案：30【考点】二项式定理的应用．【分析】把（1+2x）5按照二项式定理展开，可得按x的升幂排列的前三项，从而得到第3项的系数．【解答】解：∵（1﹣x）（1+2x）5=（1﹣x）（+?2x+?（2x）2+?（2x）3+?（2x）4+?（2x）5），展开式按x的升幂排列，前三项分别为，（?2﹣1）x，（2x）2﹣?2x=30x；则第3项的系数为30，故答案为：30．13.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=________.参考答案：30°【分析】由正弦定理进行边转化为角，再根据锐角三角形的角的范围，可求得角.【详解】,由正弦定理可得,,

,,..

故答案为:.【点睛】本题考查解三角形的正弦定理，关键在于领悟边角互化，注意角的范围，属于基础题.14.已知全集集合则

▲

.参考答案：15.设，若，则

。参考答案：16.若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为

.参考答案：故有．考点：圆与圆相交，圆的性质．17.已知函数的图象如图所示，则__________．参考答案：，由图知，周期，解得，∴，，．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016秋?安庆期末）已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣m．若函数g（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出x1，x2，令t=，得到0＜t＜1，构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），根据函数的单调性求出h（t）＜h（1），从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）因为x1，x2是函数g（x）=lnx+﹣m的两个零点，所以lnx1+﹣m=0，lnx2+﹣m=0．两式相减，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=，那么x1=，x2=．令t=，其中0＜t＜1，则x1+x2=+=．构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），则h′（t）=．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，可知＞1，故x1+x2＞1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，函数的构造、换元思想，是一道中档题．19.

设函数f(x)=lg(－l)的定义域为集合A，函数g(x)=的定义域为集合B。

（I）求的值；

(Ⅱ)求证：a≥2是的充分非必要条件。参考答案：20.（13分）（2015?河南二模）设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明ex＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故ex＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．21.已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6lnx，其中a∈R.(1)当a＝1时，判断f(x)的单调性；(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；(3)设函数h(x)＝x2－mx＋4，当a＝2时，若?x1∈(0,1)，?x2∈[1,2]，总有g(x1)≥h(x2)成立，求实数m的取值范围.参考答案：

略22.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=，同理得|CF|=?．△ABC面积s=|AB|?|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，?b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2