河北省唐山市第一高级中学高三数学理模拟试题含解析

河北省唐山市第一高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，ABCD是边长为l的正方形，点O为正方形ABCD的中心，BCEF为矩形，ED⊥平面ABCD，二面角A-BC-E的平面角为45°，则异面直线EO与BF所成的角为（）

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

参考答案：答案:D

2.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn,己知,则=(

）A．32

B．16

C.4

D．64参考答案：A3.若，则角是

（

）A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第二或第四象限角参考答案：D因为，则角是第二或第四象限角，选D4.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A． B． C．2 D．2参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB?AC?sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA=1+4﹣2=3，则BC=．故选：B．5.已知设函数，则的最大值为（

）A．1

B．2

C．

D．4参考答案：C6.集合，，则

A.

B.

C.

D.

参考答案：D7.直线与曲线相切，则的值为

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略8.已知向量=（1，2），=（cos，sin），∥，则tan=（

）

A．

B．－

C．2

D．－2参考答案：C9.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C本题主要考查了三角函数的图像变换，难度较低.因为且与函数周期成反比，由题意得函数的最小正周期为，求得.10.三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是(

)A.4

B.6

C.8

D.10参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，则___．参考答案：12.（极坐标与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，曲线的交点的极坐标为

。参考答案：略13.实数且，，则的取值范围为________。参考答案：14.已知数列的前项和，则其通项公式____________..参考答案：【知识点】数列的前项和公式和通项公式

D1【答案解析】

解析：当时，，

当时，

，

经检验，当时，上式也成立，

综上，，故答案为：【思路点拨】利用即可求出。15.已知为球的直径，，是球面上两点且，.若球的表面积为，则棱锥的体积为

．参考答案：16.已知有两个极值点、，且在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则的取值范围是

▲

参考答案：17.对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被G（X）替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2替代；②f（x）=x可被g（x）=1﹣替代的一个“替代区间”为[，]；③f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则e﹣2≤b≤2；④f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D2），则存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；其中真命题的有

．参考答案：①②③考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：命题①直接由替代的定义得出为真命题；命题②|f（x）﹣g（x）|=，根据导数判断函数x+在区间上的最值，从而可说明|f（x）﹣g（x）|＜1，从而可判断该命题正确；命题③，根据替代的定义，|f（x）﹣g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根据导数判断函数lnx﹣x+b在[1，e]上的单调性，根据单调性即可求出函数lnx﹣x+b的值域，该值域应为区间[﹣1，1]的子集，从而可得出b的取值范围，从而判断该命题的正误；命题④可先找出一个D1∩D2区间，可以在此区间找到一个x使对任意a|f（x）﹣g（x）|＞1，从而便可判断出该命题错误，这样便可最后找出所有的真命题．解答： 解：①∵|f（x）﹣g（x）|=＜1；f（x）可被g（x）替代；∴该命题为真命题；②|f（x）﹣g（x）|=；设h（x）=，h′（x）=；∴时，h′（x）＜0，x∈（]时，h′（x）＞0；∴是h（x）的最小值，又h（）=，h（）=；∴|f（x）﹣g（x）|＜1；∴f（x）可被g（x）替代的一个替代区间为[]；∴该命题是真命题；③由题意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；设h（x）=lnx﹣x+b，则h′（x）=；∵x∈[1，e]；∴h′（x）≤0；∴h（x）在[1，e]上单调递减；h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b；1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1；又﹣1≤h（x）≤1；∴；∴e﹣2≤b≤2；∴该命题为真命题；④1）若a＞0，解ax2+x＞0得，x，或x＞0；可取D1=（0，+∞），D2=R；∴D1∩D2=（0，+∞）；可取x=π，则|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π＞1；∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；2）若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x；∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R；∴D1∩D2=（﹣∞，0）；取x=﹣π，则|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1；∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代；∴该命题为假命题；∴真命题的有：①②③．故答案为：①②③．点评：考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，以及根据对数的真数大于0求函数定义域的方法，解一元二次不等式，在说明f（x）不能被g（x）替代的举反例即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知是内角的角平分线.（Ⅰ）用正弦定理证明：；（Ⅱ）若，求的长.参考答案：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD根据正弦定理，在△ABD中，=在△ADC中，=…………3分∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC∴=，=∴=……………….6分（2）根据余弦定理，cos∠BAC=即cos120°=解得BC=……….7分又=∴=，解得CD=，BD=；….9分设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=且cos60°=解得x=，即AD的长为．……..12分19.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM?DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM?AC+DM?AB成立．解答： 解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM?DH=DM?（DO+OH）=DM?DO+DM?OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM?AC+DM?AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．20.已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，b；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：因为f（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①；依题意，f′（1）=﹣2e﹣1；又，故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，联立①②解得a=2，b=1，…（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得要证f（x）＞2，即证2ex﹣exx3＞2；

…令g（x）=2ex﹣exx3，∴g′（x）=ex（﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex（x3+3x2﹣2）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），故当x∈（0，1）时，﹣ex＜0，x+1＞0；令p（x）=x2+2x﹣2，因为p（x）的对称轴为x=﹣1，且p（0）?p（1）＜0，故存在x0∈（0，1），使得p（x0）=0；故当x∈（0，x0）时，p（x）=x2+2x﹣2＜0，g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＞0，即g（x）在（0，x0）上单调递增；当x∈（x0，1）时，p（x）=x2+2x﹣2＞0，故g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＜0，即g（x）在（x0，1）上单调递减；因为g（0）=2，g（1）=e，故当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0）=2，…又当x∈（0，1）时，，∴…所以2ex