江苏省镇江市丹阳第九中学高三数学理上学期摸底试题含解析

江苏省镇江市丹阳第九中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A本题主要考查双曲线和抛物线的性质.根据题意,,设双曲线的另一个焦点为,则,因为为直角三角形,所以,根据双曲线的定义,,所以,所以双曲线的离心率为=,故选A.2.已知复数z1＝1+2i，z2＝l﹣i，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用复数的除法可得相应的结果.【详解】∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题.3.“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的(

) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件；参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答： 解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．4.若集合，，则=（）A． B． C． D．参考答案：C略5.函数的反函数的图象为（

）

参考答案：A函数的反函数为，故选择A。6.已知偶函数f（x）对任意x∈R满足f（2+x）=f（2﹣x），且当﹣3≤x≤0时，f（x）=log3（2﹣x），则f（2015）的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2015参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知关系式以及函数的奇偶性求出函数的周期，然后化简所求f（2015）为f（﹣1），通过函数表达式求出函数值即可．【解答】解：∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4+x）=f（﹣x）．∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）=f（x+4），函数的周期为：4，∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=log33=1．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．7.若函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则将f（x）向右平移个单位所得曲线的一条对称轴方程为(

)A．x= B．x= C．x= D．x=π参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用两角和的差的正弦公式化简f（x）的解析式、再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则将f（x）向右平移个单位所得图象对应的函数的解析式为y=2sin=2sin（2x﹣），则由2x﹣=kπ+，k∈Z，求得x=+，故所得图象的一条对称轴方程为x=，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的差的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则是（

）

A．等腰直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．钝角三角形参考答案：A考点：正弦定理试题解析：因为显然当时，成立，

所以，是等腰直角三角形

故答案为：A9.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】本题可以先计算出6人平均分成3个小组一共有多少种可能，在计算出每个小组恰好有1名教师和1名学生有多少种可能，然后得出结果。【详解】将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数，所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为，故选B。

10.已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：C【考点】定积分．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】由x=0是f（x）=0的一个极值点，可得f′（0）=0，求得b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2+bx，得f′（x）=﹣3x2+2ax+b．∵x=0是原函数的一个极值点，∴f′（0）=b=0．∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故选：C【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________。参考答案：1解析：由知的半径为，由图可知解之得12.已知函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2015=

．参考答案：考点：数列的求和．分析：由于函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点为（2，3），可得a2=2，a3=3，利用等差数列的通项公式可得：an=n，bn==，再利用“裂项求和”即可得出．解答： 解：函数y=loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点为（2，3），∴a2=2，a3=3，∴等差数列{an}的公差d=3﹣2=1，∴an=a2+（n﹣2）d=2+n﹣2=n，∴bn==，∴数列{bn}的前n项和为Tn=+…+=．∴T2015=．故答案为：．点评：本题考查了对数函数的性质、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是

，已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是

（第二个空填“甲”或“乙”）．参考答案：82,甲.考点：极差、方差与标准差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合中位数的概念，得出乙的中位数是多少，再分析数据的波动情况，得出甲的成绩较稳定些．解答： 解：根据茎叶图中的数据，乙的5次数学成绩按照大小顺序排列后，第3个数据是82，∴中位数是82；观察甲乙两位同学的5次数学成绩，甲的成绩分布在81～90之间，集中在平均数84左右，相对集中些；乙的成绩分布在79～91之间，也集中在平均数84左右，但相对分散些；∴甲的方差相对小些，成绩较稳定些．故答案为：82，甲．点评：本题考查了中位数与方差的应用问题，是基础题目．14.已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则

__________.参考答案：【分析】先计算代入，通过变换得到，通过计算，最后得到答案.【详解】函数是奇函数的最小正周期为将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为

故答案为：【点睛】本题考查了函数的奇偶性，周期，伸缩变换，函数求值，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15.已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且=，则数列{|log2an|}前10项和为．参考答案：58【考点】8E：数列的求和．【分析】由{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且=，求出q，可得an=32?（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2an|}前10项和．【解答】解：∵{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴an=32?（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2an|=|7﹣2n|，∴数列{|log2an|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．16.已知sin（2α+）=，则sin（4α+）的值是

．参考答案：﹣【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由sin（2α+）=，求出cos（4）=，由此利用诱导公式能求出sin（4α+）的值．【解答】解：∵sin（2α+）=，∴cos（2α+）=||=||，∴cos（4）=cos2（2）﹣sin2（2）==，∴sin（4α+）=cos[﹣（4）]=cos（）=cos（4）=﹣cos（4）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式和诱导公式的合理运用．17.已知集合，则_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（05年全国卷Ⅰ理）（12分）（Ⅰ）设函数，求的最小值；（Ⅱ）设正数满足，证明：

参考答案：解析：（Ⅰ）解：对函数求导数：

于是当在区间是减函数，当在区间是增函数.所以时取得最小值，，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数令则为正数，且由归纳假定知

①同理，由可得

②综合①、②两式即当时命题也成立.根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.证法二：令函数利用（Ⅰ）知，当

对任意

.

①下面用数学归纳法证明结论.（i）当n=1时，由（I）知命题成立.（ii）设当n=k时命题成立，即若正数

由①得到

由归纳法假设

即当时命题也成立.

所以对一切正整数n命题成立.

19.对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]?D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x?[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．（1）求证：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数；（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；（3）若函数g（x）=mx+是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）对于函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，欲判断其是否是“U型”函数，只须f1（x）＞=2是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；（2）不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，等价于|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）min，等价于|t﹣1|+|t﹣2|≤2，从而可求实数t的取值范围；（3）函数g（x）=mx+是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，等价于x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数即可解决问题．【解答】解：（1）当x∈[1，3]时，f1（x）=x﹣1+3﹣x=2，当x?[1，3]时，f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|＞|x﹣1+3﹣x|=2故存在闭区间[a，b]=[1，3]?R和常数C=2符合条件，…所以函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数…（2）因为不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，所以|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）min…由（1）可知f（x）min=（|x﹣1|+|x﹣3|）min=2…所以|t﹣1|+|t﹣2|≤2…解得：…（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]?[﹣2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，都有g（x）=mx+=c，即=c﹣mx所以x2+2x+n=（c﹣mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…所以，所以或…①当时，g（x）=x+|x+1|．当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数…②当时，g（x）=﹣x+|x+1|．当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数．综上分析，m=1，n=1为所求…20.选修4-5：不等式选讲设函数，其中．（I）当a=1时，求不等式的解集．（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．参考答案：

（Ⅰ）当时，可化为．

由此可得

或．

故不等式的解集为或．

(Ⅱ)由

得

此不等式化为不等式组

或

即

或

因为，所以不等式组的解集为

由题设可得=，故21.在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|PA|?|PB|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义