湖南省常德市桃源县黄甲铺乡中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省常德市桃源县黄甲铺乡中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等比数列{an}中，，公比|q|≠1，若am=a1·a2·a3·a4·a5,则m=_________A．9

B．10

C．11

D．12参考答案：C2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，动点E、F在棱A1B1上，动点P、Q分别在棱AB、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，则四面体PEFQ的体积

（

）

A．与x，y都无关

B．与x有关，与y无关

C．与x、y都有关

D．与x无关，与y有关参考答案：A略3.“lnx＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】对数函数的单调性与特殊点；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于对数的真数要大于0，得x＞e，从而可判断由谁推出谁的问题．【解答】解：∵lnx＞1?x＞e，所以“lnx＞1”是“x＞1”的充分不必要条件，∴选择A．4.复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A．（3,3）

B．（-l,3）

C．（3,-1）

D．（2,4）参考答案：D5.已知等比数列{an}的首项a1=2015，公比为q=，记bn=a1a2a3…an，则bn达到最大值时，n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知，bn达到最大值时，，由此能求出bn达到最大值时，n的值．【解答】解：∵等比数列{an}的首项a1=2015，公比为q=，∴，∵bn=a1a2a3…an，∴bn达到最大值时，，∵=＞1，＜1，∴bn达到最大值时，n的值为11．故选：B．【点评】本题考查满足的等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f（x）的图象大致为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】由三角形的面积公式，结合图象可知需分类讨论求面积，从而利用数形结合的思想方法求得．【解答】解：由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f（x）=?x??a=ax，故在[0，a]上的图象为线段，故排除B；当a＜x≤a时，f（x）=?（a﹣x）??a=a（a﹣x），故在（a，a]上的图象为线段，故排除C，D；故选A．7.设{an}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，则数列{an}的前13项的和为S13=（） A．63 B． 109 C． 117 D． 210参考答案：C8.已知点A（1，0），P，且满足则|PA|的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知则的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：【知识点】对数函数的性质.B7D

解析：由可转化为，当时，解不等式得；当时，解不等式得，综上所述：的取值范围是，故选D.【思路点拨】利用对数函数的性质，对a进行分类讨论即可。10.已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为（

）A. B.1

C.

D.3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若且，则△ABC面积的最大值是

．参考答案：由b=acosC+csinA，正弦定理：sinB=sinAcosC+sinCsinA即sin（A+C）=sinAcosC+sinCsinA可得：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0∴cosA=sinA，即tanA=1．0＜A＜180°，∴A=45°在三角形ADC中：由余弦定理可得：即2bc=4b2+c2﹣8．∵4b2+c2≥4bc，∴bc≤=那么S=bcsinA=．故答案为：．

12.等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，。给出下列结论：①；②的值是中最大的；③使成立的最大自然数等于18。其中正确结论的序号是

。参考答案：①③13.设x，y满足约束条件,则的最大值为______.参考答案：8【详解】作可行域，则直线过点B(5,2)时取最大值8.14.已知△ABC中，，，，则该三角形的面积是________.参考答案：【分析】先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面积公式求面积得解.【详解】由题得所以三角形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝

▲

．参考答案：－3在中，由余弦定理可得：，由题意可得：，，故.

16.四棱锥的三视图如右图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A.

B.24

C.

D.

参考答案：A将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，

且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是,可得,所以正方体棱长,在直角三角形中，,,即外接球半径，得外接球表面积为,选A.17.我市支援冰雪灾区的袋装面粉质量服从正态分布（单位：kg）。任取一袋面粉，它的质量25~26kg内的概率是

。参考答案：答案:0.4772三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P.（1）若点在C上，求直线PQ斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E过定点.参考答案：解法一：（1）由题意得.故（2）由（1）知，点坐标为.令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为.所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.解法二：（1）同解法一. （2）由（1）知，点坐标为，设抛物线与轴两交点分别为.设圆的一般方程为：，则因为抛物线与轴交于，所以是方程，即的两根，所以，所以，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.

19.已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）可将变形，由余弦定理可求得A角大小；（2）由正弦定理可求得a边，从而得到关于b,c的方程组，求解可得到bc的值，从而求得三角形面积试题解析：（1）又（2）又且∴===考点：正余弦定理解三角形20.某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求、

边的长分别为和外，还特别要求包装盒必需满足：①平面平面；②平面与平面所成的二面角不小于；③包装盒的体积尽可能大。若设计出的样品满足：与均为直角且长，矩形的一边长为，请你判断该包装盒的设计是否符合客户的要求？说明理由。参考答案：解：该包装盒的样品设计符合客户的要求。

法一：（1）以下证明满足条件①的要求.∵四边形为矩形，与均为直角，∴且∴面，在矩形中，∥

∴面

∴面面

（2）以下证明满足条件②、③的要求.∵矩形的一边长为，而直角三角形的斜边长为，∴

设，则，

以为原点，分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设面的一个法向量为，

，

∵

∴，取，则

而面的一个法向量为，

设面与面所成的二面角为，则，

∴，

∴，即当时，面与面所成的二面角不小于.

又，由与均为直角知，面，

该包装盒可视为四棱锥，

当且仅当，即时，的体积最大，最大值为.

而，可以满足面与面所成的二面角不小于的要求，综上，该包装盒的设计符合客户的要求。

略21.如图，在平面四边形中，.（1）求;（2）若,求的面积.

参考答案：(1)2；(2).解析：(1)中，由余弦定理：

2分

6分(2)由

8分

11分

12分

略22.（本小题满分14分）已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.参考答案：（1）

函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，……………3分所以．

……4分（2）因为，所以，

……5分因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，由，有=，（）

……6分又当时，有重根，

……7分综上