高中数学人教版方程的根与函数的零点参考1课件

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点

1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;2、掌握函数零点存在的判定定理.

（函数零点存在性定理）.学习目标：问题提出:

1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？2.方程2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？方程的根与函数的零点一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？思考：判别式>00<0

y=ax2+bx+c

的图象ax2+bx+c=0

的根ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有如下关系：xyx1x20xy0x1xy0{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}ΦΦR函数的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)没有交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根两个不相等的实数根x1、x2知识探究（一）：方程的根与函数零点

思考1：上述三个一元二次方程的实根分别是什么？对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是什么?

考察下列一元二次方程与对应的二次函数：（1）方程与函数y=x2-2x-3；（2）方程与函数y=x2-2x+1；（3）方程与函数y=x2-2x+3.

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数:思考2：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的实根与对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有什么关系？

结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．思考3：更一般地，对于方程f(x)=0与函数y=f(x)上述关系适应吗？

函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性例1（1）已知函数，f(-2)f(1)0(填“>”或“<”)（）(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点；函数图象是函数的重要表达形式之一，它可以直观的反映函数的变化情况，它将函数的各种性质及特点毫无保留地展现在你的面前.（1）；1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？（a,b）内有且只有一个零点。y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有如下关系：（4）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点；（3，4）D.（2）定理的结论只交待了存在性，至于有几个也函数与方程的求解策略：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点；函数图象是函数的重要表达形式之一，它可以直观的反映函数的变化情况，它将函数的各种性质及特点毫无保留地展现在你的面前.,把使的实数对于函数叫做函数的零点.一、函数零点的定义：思考4:零点是不是点？零点指的是一个实数.思考5：函数y=f(x)有零点可等价于哪些说法？练习：求下列函数的零点：（1）；（2）

.思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分布？

思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点附近如何分布？

知识探究（二）：函数零点存在性定理

1.f(-2)=

，f(1)=

f(-2)f(1)

0(填“>”或“<”)发现在区间(-2，1)上有零点

2.f(2)=

，f(4)=

f(2)f(4)

0(填“>”或“<”)发现在区间(2，4)上有零点

观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象xy0－132112－1－2－3－4

<

5-4-1

<

3-35思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在下列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点？(1)f(1)＞0,f(2)＞0;(2)f(1)＞0,f(2)＜0;(3)f(1)＜0,f(2)＜0;(4)f(1)＜

0,f(2)＞0.思考4:一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈

(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

二、函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。零点存在性定理：那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，（a,b）内有零点，即存在连续不断c也就是方程（1）两个前提条件缺一不可；（2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？至少有一个，可以有多个。那么如果函数的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，并且是单调函数，（a,b）内有且只有一个零点。连续不断xy0（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？xy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

反之不成立！(5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述原理适应吗？

思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？

辨析1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，

f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)有无零点？辨析2：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？xyOxyO再论定理:（1）定理的条件有：连续和异号，两点都具备，就能断定有零点，而少了任何一个就不能肯定有无零点了！要作进一步判断！（2）定理的结论只交待了存在性，至于有几个也要作进一步判断！注意：

对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点.（可以用函数图象、定理等）方法提炼：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f(a)·f(b)<0. （）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （）（4）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足

f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且仅有一个零点。（）练习:判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例练一练求下列函数的零点:由表和图可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。

由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象.

－4

－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219例题精讲：

例1:方程在下列哪个区间上有零点()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C解法二:C

解法三:21-1-21240yx3

例1:方程在下列哪个区间上有零点()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)三、判断函数零点的方法：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点；(2)图象法（数形结合）：画出y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标;(3)定理法：函数零点存在性定理.理论迁移:例2试推断是否存在自然数m，使函数f(x)=3-2x在区间（m，m+1）上有零点？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

练习1:下列函数在区间[1，2]上有零点的是()(A)f(x)=3x2-4x+5(B)f(x)=x³-5x-5(C)f(x)=lnx-3x+6(D)f(x)=ex+3x-6

练习2:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点()A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)D

B

小结:1、一元二次方程的根及其相应二次函数的图象与x轴交点的关系;2、函数零点的概念;3、函数零点与方程的根的关系.小结：判断函数零点的方法：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点；(2)图象法（数形结合）：画出y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标;(3)定理法：函数零点存在性定理.3.1.1方程的根与函数的零点习题课知识回顾：1.什么叫函数的零点？

2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法？函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.理论迁移：例1（1）已知函数，若ac＜0，则函数f(x)的零点个数有()

()A.0B.1C.2D.不确定（2）已知函数有一个零点为2，则函数g(x)=bx2-ax的零点是()

A.0和2B.2和C.0和D.0和CD（3）函数的零点所在的大致区间是()A.（1，2）B.（2，3）

C.（3，4）D.（4，5）B3个