根与系数的关系知识点及综合应用

根与系数的关系知识点及综合应用

鹿邑前沿教育：根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系(1)若方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根是$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。(2)若一个方程的两个根为$x_1$，$x_2$，那么这个一元二次方程为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$。二、根与系数的关系的应用：(1)验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根。(2)判别一元二次方程两根的符号。对于$ax^2+bx+c=0$来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，但$\Delta$只能用于判定根的存在与否。若判定根的正负，则需要确定$b$或$a$的正负情况。因此解答此题的关键是：$b$或$a$的正负情况。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于$ax^2+bx+c=0$来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，但$\Delta$只能用于判定根的存在与否。若判定根的正负，则需要确定$b$或$a$的正负情况。因此解答此题的关键是：$b$或$a$的正负情况。解：$\because\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times2\times(-7)=65>0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为$x_1$，$x_2$，$\because\Delta>0$，$\therefore$原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中$a>0$，若$\Delta>0$，仍需考虑$b$的正负，所以可判定方程的根为一正一负；倘$a<0$，则需考虑$b$和$c$的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。(3)求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数。例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及$a$的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把$x_1=2$代入原方程，先求出$x_2$的值，再通过解方程办法求出$a$；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及$a$的值。解法一：把$x_1=2$代入原方程，得：$a\times2^2+b\times2+c=0$，即$4a+2b+c=0$。解得当$a=1$时，$b=-3$，$c=2$。此时，原方程可化为$(x-2)(x-1)=0$，即方程的另一个根为4。解法二：设方程的另一个根为$x_2$，根据题意，利用韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。$\thereforex_2=-\frac{b}{a}-x_1=-\frac{b}{a}-2$。把$x_2=-\frac{b}{a}-2$代入$x_1x_2=\frac{c}{a}$，可得：$2b+4a=c$。把$a=1$代入$2b+4a=c$，可得$b=-3$，$c=2$。$\therefore$方程的另一个根为4，$a=1$。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。(4)求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于$x_1$和$x_2$的代数式的值。根与系数关系常用的转化关系：$x_1+x_2=(x_1+x_2)-2x_1x_2$；$x_1^2+x_2^2=(