山东省淄博市博山区山头镇山头中学高一数学理联考试卷含解析

山东省淄博市博山区山头镇山头中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点，，若直线：与线段AB没有交点，则的取值范围是（）A．

B．

C．或

D．参考答案：C2.设全集，集合，若，，则的值为（

）

A．2或

B．或

C．或8

D．2或8参考答案：D3.向面积为的内任投一点，则的面积小于的概率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面

的距离为（

）A．B．

C．

D．

参考答案：B略5.已知全集I＝｛x|x是小于9的正整数｝，集合M＝｛1，2，3｝，集合N＝｛3，4，5,6｝，则（IM）∩N等于（

）A.｛3｝

B.｛7，8｝

C.｛4，5,6｝

D.{4,5，6,7，8}参考答案：C6.右图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则A． B． C． D．参考答案：B略7.有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个卖出热饮杯数y与当天气温x之间的线性关系，其回归方程为，如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（

）A.140 B.143 C.152 D.156参考答案：B【分析】根据所给的一个热饮杯数与当天气温之间的线性回归方程，代入x=2，求出y即可．【详解】根据热饮杯数与当天气温之间的线性回归方程为，某天气温为时，即，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数．故选：B．【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，属于基础题．8.在△ABC中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D.参考答案：A分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.9.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.【详解】如下图所示，设正方体的棱长为，四边形为正方形，所以，，所以，异面直线与所成的角为，在正方体中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。10.已知数列{an}满足，，Sn是数列{an}的前n项和，则（

）A. B.C.数列是等差数列 D.数列{an}是等比数列参考答案：B分析：由，可知数列隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列满足，，当时，两式作商可得：，∴数列的奇数项，成等比，偶数项，成等比，对于A来说，，错误；对于B来说，，正确；对于C来说，数列等比数列，错误；对于D来说，数列是等比数列，错误，故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.己知矩阵，若矩阵C满足，则矩阵C的所有特征值之和为____.参考答案：5【分析】本题根据矩阵乘法运算解出矩阵C，再依据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和．【详解】解：由题意，可设C＝，则有?＝．即，解得．∴C＝．∵f（λ）＝＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣5λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣3）＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝3．∴λ1+λ2＝2+3＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查矩阵乘法运算及依据特征多项式求出特征值，本题不难，但有一定综合性．本题属基础题．12.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______________.参考答案：略13.函数的定义域为参考答案：略14.已知α，β均为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先利用同角三角函数的基本关系求得sinα和sin（α+β）的值，然后利用cosβ=cos[（α+β）﹣α]，根据两角和公式求得答案．【解答】解：∵α，β均为锐角，∴sinα==，sin（α+β）==∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．故答案为：15.已知，则__________.参考答案： 16.求值：

参考答案：417.不等式|x﹣3|≤1的解集是．参考答案：[2，4]【考点】绝对值不等式的解法．【分析】去掉绝对值，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|x﹣3|≤1，∴﹣1≤x﹣3≤1，解得：2≤x≤4，故答案为：[2，4]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知全集U={x|x﹣2≥0或x≤1}，A={x|x2﹣4x+3＞0}，B=（﹣∞，1]∪（2，+∞），求A∩B及?U（A∪B）．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】函数思想；综合法；集合．【分析】先求出全集U=（﹣∞，1]∪[2，+∞），A=（﹣∞，1）∪（3，+∞），然后进行交集、并集，以及补集的运算即可．【解答】解：U={x|x﹣2≥0或x≤1}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），A={x|x2﹣4x+3＞0}=（﹣∞，1）∪（3，+∞），B=（﹣∞，1]∪（2，+∞）；∴A∩B=（﹣∞，1）∪（3，+∞），A∪B=（﹣∞，1]∪（2，+∞），?U（A∪B）={2}．【点评】考查描述法、列举法表示集合，以及区间表示集合，集合的交集、并集，及补集的运算．19.（本题满分8分）已知圆和圆，直线与圆相切于点（1,1）；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为。（1）求直线的方程；（2）求圆的方程。参考答案：（1），

（2）由已知可设，

，又弦长为

又20.（本题满分19分）数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列中的任两项互质。（3）记，为数列的前项和，求的整数部分；

参考答案：解析：（1）因为当也成立，所以；--------------------------------------------------5分；（2）因为所以，------------------------------------------------------------------------9分；因为为奇数，所以对任意的均互质。--------------------12分。（3）因为，所以，又因为，所以，---------------------------------------------------16分；所以，所以的整数部分为1。-----------19分。

21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（3b﹣c）cosA﹣acosC=0．（1）求cosA；（2）若a=2，△ABC的面积S△ABC=3，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若sinBsinC=，求tanA+tanB+tanC的值．参考答案：【考点】GZ：三角形的形状判断；HR：余弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sinB（3cosA﹣1）=0，由于sinB≠0，可求cosA的值．（2）利用三角形面积公式可求bc=9，利用余弦定理可求b2+c2=18，联立可求b=c=3，可得△ABC为等腰三角形．（3）由cosA=，利用三角函数恒等变换的应用可得sinBsinC﹣cosBcosC=，又sinBsinC=，可求tanBtanC=2，利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为16分）解：（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理，得（3sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，∴3sinBcosA﹣sin（A+C）=0，可得：sinB（3cosA﹣1）=0．∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=．…（2）∵S△ABC=bcsinA=3，∴bc=9，①∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2=18，②…由①②得b=c=3，∴△ABC为等腰三角形．…（3）由cosA=，得tanA=2，cos（B+C）=﹣，∴sinBsinC﹣cosBcosC=，…又sinBsinC=，∴cosBcosC=，∴tanBtanC=2，…又tanB+tanC=tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=2，∴tanA+tanB+tanC=4．…22.已知=（cosωx，sinωx），=（2cosωx+sinωx，cosωx），x∈R，ω＞0，记，且该函数的最小正周期是．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算；HW：三角函数的最值．【分析】（1）由已知向量的坐标利用数量积可得f（x）的解析式，再由降幂公式结合辅助角公式化简，由周期公式求得ω值；（2）由f（x）=sin（8x+）+1，可知当8x+=+2kπ，即x=+（k∈Z）时，sin（8x+）取得最大值1，并由此求得求使f（x）取得最大值的x的集合．【解答】解：（1）∵=（cosωx，sinωx），=（2cosωx+sinωx，cosωx），∴f（x）==cosωx?（2cosωx+sinωx