课件讨论题5 taylor定理及其应用

y=y=ey=1+oy=y=ln(1+xo年 不足 1、精确度不高；2、误差不能估计问题:寻找函数Px),使得fx)P误差Rx)fxPx)设函数fx在含有x0的开区间(ab内具有直到(n1)阶导数,Px为多项式函数P(x)=a+a(x-x)+a(x-x)2 + (- Rn(x)=f(x)-Pn(年 Pn和Rn分析 yyo 程 越 (x0(越

f((x0

)年 P(k)(x)=f(k)(x

k=1,2, fa=f(x 1a=f

(x2!a=f((x ,n!a=n

0(n)(x0 =1f(k)(x (k=0,1,2, )代入Pnx)P(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f(x0)(x-x)2 ( (x0)(x-x 年 泰勒(Taylor)中值定理如果函数fx在含有x0的某个开区间(ab)内具有直到(n1)阶的导数,则当x在(ab)内时,fx)可以表示为xx0的⼀个n次多项式与⼀个余项Rnx)之和:f(x)=f(x)+f(x)(x-x)

f¢(x0)(x-x)2 (n +f(x0(x-x)n

+R(x) f(n+1) Rnx=(n1)!xx0 x在x0与x年1 证明: 由假设,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,且R(

)=R(x)=

(x)

(n)(x)= R 两函数Rx及xx)n+1在以x及x为端点 =Rn( Rn(x)-Rn(x0=(x-x (x-x)n+1- (1)

(n+1)(x-x 年 两函数R(x及(n1)xx)nx及x为端点 1

n1)-(x0n(n+1)(x-x (n+1)(x-x)n- 2

-x)n-

R(

R(n+1) = (x-x0 n(x在x0与xn之间,也在x0与x年 nnf(n+1)

\R(n+1)(x)=f(n+1)(nn+!0R(x)nn+!0

)(x-

f(k)(x Pn(x)

(x-x)0k 0nn f(k)(x f(x)= (x-x) +R( k fx)按xx0n年 f(n+1) nRn(x)=()(x-x0)

n+1

R(x)

(x-

(x-

)n+1nf(f(n+1)(xn+

Rn( =

n+ 0xfix0(x-x0Rx)oxx)n

n0\f(x)=0

f(k)(x

(x-x

+o[(x-x)nk 年 当n=0时,变成拉氏中(x)( x0nx在0与xxn

Rn(x)

f(n+1)(qx)(n+年 三、麦克劳林(aurin)f(x)=f(0)+

(0)x

(0)

x2+

f(n)(0)f(n+1)+(n+

(0<q<f(0) f(n) f(x)=f(0)++O(xn

(0)

年 例 求f(x)=ex的n阶麦克劳林 f(x)=f(x),

f(n)(x)=e\f(0)=f(0)=f(0) f(n)注意到

(n+1)(qx)()x

e =1+x

x eq +

(n+年

x »1+x

(设x>Rn(x)

e(n+<(n+

取x

e»1+1+1 3

(n+

(n+年 林x x5 xsinx=x-+- +(-1)n (2n+1)!x x4 cosx=1 +- +(-n

x

2no(x)2! x x ln(1+x)=x-+ +o(xn+1) n+11-

=1+x+x2 +xn+o()(1+x)m=1+mx+m(m-1)x2+m(m-1) (m-n+

年 yy=y=sin年 Taylor的数学思想---局部近年 例 近似计算e的值，使误差小于10-5根据例1，e»1+1+1 1 2! n!

(n+

(n+当n时，由于310-5e»1+1+1 + 8!年 例 求方程x5+ex-32=0的近似实根x»2e x»2e

x=ff"(0)

d2d2

年 例 计算xfi2

+2cosx-3x41 e

=1+x

+2!x4+o(x4x x4cosx=1-++o(x5 \ex+2cosx-3=(2+

1)x4+o(x47原式lim

=xfi x4 年 利用Taylor证明不等式例5 设f"(x)>0，当xfi0时，f(x)与x是等价无穷小，证明：当x„0时，f(x)>x.

年

xfi

exsinx-x(1+x)x3年 x3 x3 =1+x+考

3!+o(x3sinx=xx解x

3!+o(x答lim

sinx-x(1+=3=xfi x

3 1+x+++o(x)x-+o(x)-x(1+limxfi

x3-

xfi

x

+o(x 年 练习题⼀、当 =-1时，求函数f(x)=1n 二、求函数f(x)=xex的n阶麦格劳林

1时，

x x30<x£

»1+x

2+eex的近似值，可产生的误差小于0.01，并求 近似值，使误差小于0.01.e xfi

sin4xfi 年