超几何分布、二项分布、正态分布复习课程

超几何分布、二项分布、正态分布精品文档超几何分布、二项分布、正态分布【学习目标】1、通过实例，理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单的应用。2、理解 n次独立重复试验 (即n重伯努利试验 )及其意义，理解二项分布并能解决一些简单的实际问题。3、借助直观图，了解是正态分布曲线与正态分布，认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义。4、会查标准正态分布表，会求满足正态分布的随机变量 x在某一范围内的概率。【重点与难点】重点：正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。难点：正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计算。【知识要点】1、超几何分布：一般地，若一个随机变量 x的分布列为： P(x＝r)＝①收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档r 0 1 2 3min(n M) x收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝ ，记为H(r，n，M，N)。如：在一批数量为 N件的产品中共有 M件不合格品，从中随机取出的 n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：(表一)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档其中 ＝min(n，M)，满足超几何分布。2、伯努利试验 (n次独立重复试验 )，在n次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果 A与 出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为 n次独立重复试验，也称为伯努利试验。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档P( )＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率(0≤k≤为n)P(k)＝(k＝0，1，2，3， ，n)，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第 k＋1项。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3、二项分布： 若随机变量 x的分布列为 p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1，2， ，n，则称x服从参数为 n、p的二项分布，记作 x～B(n，p)。如：n次射击中，击中目标 k次的试验或投掷骰子 n次，出现 k次数字5的试验等均满足二项分布。3、正态分布曲线。概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密度曲线。(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为 P(x)＝(x∈R)的曲线称之为正态密度曲线。正态密度曲线图象特征：①当x＜μ时曲线上升；当 x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以 x轴为渐近线。②正态曲线关于直线 x＝μ对称。③σ越大，正态曲线越扁平； σ越小，正态曲线越尖陡。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档④在正态曲线下方和 x轴上方范围内的区域面积为 1。4、正态分布： 若x是一个随机变量，对任意区间，P 恰好是正态密度曲线下方和 x轴上收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为μ和σ的正态分布，简记为2x～N(μ，σ)。在现实世界中很多随机变量遵循正态分布。如：反复测量某一个物理量，其测量误差x通常被认为服从正态分布；某一地区同性别同年龄组儿童的体重W也近似地服从正态分布。2x在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很若x～N(μ，σ)，则随机变量少。如图一所示：随机变量x取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%。其中，μ实际上就是随机变量2x取值的x的均值，σ为随机变量x的方差，它们分别反映平均大小和稳定程度。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档5、标准正态分布： 正态分布 N(0，1)称为标准正态分布，此时， P(x)＝(x∈R)，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率。数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主导地位，则这样的随机变量服从正态分布，特别是在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理，中心极限定理告诉我们在平均重复观察多次后，我们可以利用正态分布对随机事件进行分析和预报。2可以证明，对任一正态分布 x～N(μ，σ)来说，都可以通过 z＝转化为标准正态分布 z～N(0，1)。6、利用 Excel进行有关概率计算。(1)超几何分布函数计算：按 “插入/函数/统计”选择超几何分布函数 “HYPGEOMDIST”，然后依次输入 r、n、M、N的值，或直接在单元格内输入 “＝HYPGEOMDIST(4 ；5，10，30)”即可得到后边例 1中H(4；5，10，30)的值，约为 0.029472443。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(2)二项分布函数计算：选择 “插入/函数/统计”，选择二项分布函数 “BINOMDIST”，然后依提示输入相应的参数 k、n、p的值，或在单元格内直接输入 “＝BINOMDIST(80 ，10000，0.006，1)”即可得到后面例 4中P(x≤80)的值，约为 0.994。(3)正态分布函数计算：选择 “插入/函数/统计”，选择正态分布函数 “NORMDIST”，输入相应参数x、μ、σ的值，或在单元格内直接输入 “＝NORMDIST(184.5 ，184，2.5，1)”，就可得到后边例6中P(x≤184.5)的值，约为 0.5793。7、二项分布的近似计算。对于二项分布函数，当 n比较大，而 p比较小(p≤0.1)，而乘积 np大小“适中”时，可以利用近似公式 P(x＝k)＝ 来计算。【典型例题分析】例1：高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有 10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 5个球，摸到 4个红球一个白球就中一等奖，求中一等奖的概率。解：以30个球为一批产品，其中红球为 “不合格品”，随机抽取 5个球，x表示抽到的红球数，则x服从超几何分布 H(5，10，30)，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档由超几何分布公式可得： H(4；5，10，30)＝≈0.0295，所以获一等奖的概率约为 2.95%。例2：生产方提供50箱的产品中，有两箱不是合格产品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若其中的不合格产品不超过一箱，则接收该批产品，问：该批产品被接收的概率是多少？解：用x表示5箱中的不合格品的箱数，则x服从超几何分布 H(5，2，50)，这批产品被接收的条件是 5箱中有0或1箱不合格产品，故该产品被接收的概率为 P(x≤1)即：P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档＝ ＝＝收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档＝ ≈0.992答：该批产品被接收的概率约为 99.2%。例3：求抛掷100次均匀硬币，正好出现 50次正面向上的概率。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档分析：将一枚均匀硬币随机抛掷 100次，相当于做了 100次独立重复试验，每次试验有两个可能结果，即出现正面 (A)与出现反面( )且P(A)＝P()＝0.5。解：设x为抛掷100次硬币出现正面的次数，依题意随机变量 x～B(100，0.5)，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档则P(x＝50)＝ ≈8%。答：随机抛掷 100次均匀硬币，正好出现 50次正面的概率约为 8%。例4：某保险公司规定：投保者每人每年交付公司保险费 120元的人身意外保险，则投保者意外伤亡时，公司将赔偿 10000元，如果已知每人每年意外死亡的概率为 0.006，若该公司吸收10000人参加保险，问该公司赔本及盈利额在 400000元以上的概率分别有多大？解：设这10000人中意外死亡的人数为 x，根据题意， x～B(10000，0.006)，P(x＝k)＝，当死亡人数为 x人时，公司要赔偿 x万元，此时，公司的利润为 (120－x)万元，由上述分布，公司赔本的概率为：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档P(120－x<0)＝1－P(x≤120)＝1－ ＝1－≈0，这说明，公司几乎不会赔本，利润不少于 400000元的概率为：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档P(120－x≥40)＝P(x≤80)＝ ＝≈0.994，即公司约有 99.4%的概率可以赚到 400000元以上。例5：若随机变量 z～N(0，1)，查标准正态分布表，求：(1)P(z≤1.52)；(2)P(z＞1.52)；(3)P(0.57＜z≤2.3)；(4)P(z≤－1.49)。解：(1)P(z≤1.52)＝0.9357。(2)P(z＞1.52)＝1－P(z≤1.52)＝1－0.9357＝0.0643。(3)P(0.57＜z≤2.3)＝P(z≤2.3)－P(z≤0.57)＝0.9893－0.7157＝0.2736。(4)P(z≤－1.49)＝P(z≥1.49)＝1－P(z≤1.49)＝1－0.9319＝0.0681。例6：某批待出口的水果罐头，每罐净重x(g)服从正态分布N(184，2.52)，求：(1)随机抽取一罐，其实际净重超过184.5g的概率。(2)随机抽取一罐，其实际净重在179g与189g之间的概率。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档解：(1)P(x＞184.5)＝P ＝P(z＞0.2)＝1－P(z≤0.2)＝1－0.5793＝0.4207。(2)P(179＜x≤189)＝PP(－2＜z≤2)＝P(z≤2)－P(z≤－2)P(z≤2)－P(z≥2)＝P(z≤2)－[1－P(z≤2)]2P(z≤2)－1＝2×0.9772－1＝0.9544答：随机抽取一罐，其实际净重超过 184.5g的概率是 0.4207，在179g与189g之间的概率是0.9544。例7：某电话站为300