【高一数学暑假培优】第07讲 基本不等式（原卷+解析卷）-人教A版2023必修第一册

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第07讲基本不等式

1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；

2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；

3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式；

4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。

一、基本不等式的概念

1、两个不等式

（1）重要不等式：,（当且仅当时取号）.

常见变形公式：、

（2）基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.

常见变形公式：；

【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.

因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2、由公式和引申出的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

二、基本不等式的证明

1、法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.

这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，

这时有.

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）

2、法二：代数法

∵，

当时，；

当时，.

所以，（当且仅当时取等号“=”）.

三、基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，

过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，

其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

四、利用基本不等式求最值

1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.

①一正：各项均为正数；

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.

2、积定和最小，和定积最大

（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.

（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.

考点一：对基本不等式的理解

例1．不等式中，等号成立的条件是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由基本不等式可知，当且仅当，

即时等号成立，故选：.

【变式训练】（多选）已知a，，且，则下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】BC

【解析】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确；

对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，因为，所以，则，

当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，因为，所以，当时满足，但，

此时，故D不正确.故选：BC.

考点二：利用基本不等式比较大小

例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】、为互不相等的正实数，则，

所以，

，时，，

所以．故选：A．

【变式训练】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．

【答案】/

【解析】，，，则，，，

综上所述：最大的一个是.

故答案为：

考点三：利用基本不等式求和的最小值

例3．若，则的最值情况是（）

A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2

【答案】B

【解析】若，则，

当且仅当即等号成立，

所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.

【变式训练】若，且，求的最小值．

【答案】

【解析】因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为．

考点四：利用基本不等式求积的最大值

例4．已知，则当取最大值时，的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由，可得，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以时，取得最大值.故选：B.

【变式训练】若，，且，则的最大值为（）

A．5B．6C．8D．9

【答案】D

【解析】因为，，且，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为9.故选:D.

考点五：利用基本不等式证明不等式

例5．已知，，且，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】因为，，，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

故原题得证.

【变式训练】已知，，，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】∵，，，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

同理：，，

当且仅当，时，等号成立，

以上三式相加得：，

当且当且仅当时，等号成立，

所以.

考点六：利用基本不等式解决实际问题

例6．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________．

【答案】

【解析】设矩形场地的长为米，则矩形的宽为米，且，

所以矩形的面积为平方米，

因为，所以，

当且仅当即时等号成立，

所以矩形的最大面积为平方米.

故答案为：平方米.

【变式训练】如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．

（1）若，求x的取值范围；

（2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．

【答案】（1）；（2），

【解析】（1）由矩形周长为，可知，

设，则∵，∴．

在中，，即，得，

由题意，，即，

解得，

由得，，∴，

即x的取值范围是．

（2）因为，．

化简得．

∵，∴，

当且仅当，即时，，.

1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（）

A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64

【答案】CD

【解析】对于A，当，时，才能成立，A错误；

对于B，当时才能使用基本不等式求最小值，B错误；

对于C，因为，所以，即，C正确；

对于D，，，所以，D正确.故选：CD.

8．（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（）

A．的最小值是2B．的最大值是1

C．的最小值是4D．的最大值是2

【答案】AB

【解析】因为正数满足，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值是2，故A正确；

因为正数满足，所以，

当且仅当时，等号成立，等号成立，

所以的最大值是1，故B正确；

由，得，

当且仅当时，等号成立，等号成立，

所以的最小值是,故C错误；

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值是，故D错误；故选：AB.

9．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABD

【解析】由于，则，

又，所以，

又，即.故选：ABD

10．已知.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值.

【答案】（1）16；（2）

【解析】（1）当时，，

即，即，

所以，即，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为16.

（2）当时，，即，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为.

11．（1）已知，，，求证：；

（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1），

当且仅当时等号成立，

所以.

（2），

当且仅当时等号成立，

因为a，b，c为不全相等的正实数，

所以.

12．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．

（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；

（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？

【答案】（1）；（2）6万元

【解析】（1）．

因为，所以

（2）因为．

又因为，所以，

所以（当且仅当时取“”）

所以

即当万元时，取最大值30万元．

1．若，则下列不等式成立的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】因为，则，

又，所以.故选：B.

2．已知，则的最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，

当且仅当，即时取等号.

所以的最大值为.故选：C

3．已知，则的最小值是（）

A．3B．4C．5D．2

【答案】B

【解析】由于，故，所以，

当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，故选：B

4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（）

A．20B．25C．28D．30

【答案】D

【解析】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然，

则，当且仅当时取等号，

即时取等号，故选：D

5．已知，且.则下列不等式恒成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】AC

【解析】当时，，所以BD选项错误.

A，，当且仅当时，等号成立，A正确.

C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：AC

6．（多选）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（）

A．的最小值为3B．的最大值为1

C．的最小值为2D．的最小值为2

【答案】ABD

【解析】因为正实数m、n，所以，

当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；

由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；

因为，当且仅当m=n=1时取等号，

故≤2即最大值为2，C错误；

，

当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD

7．已知，则与的大小关系是____________

【答案】.

【解析】∵，∴，，

∴，

当且仅当，即时取等号，

故答案为：.

8．已知，，，则的最大值为______．

【答案】/2.25

【解析】因为，，，所以，

所以，当且仅当时取“=”

故答案为：.

9．已知正数，满足，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】因为正数，满足，

则，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为，故答案为：

10．证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】（1），

当且仅当时，即时，等号成立.

（2），

当且仅当时取等号，此时，

显然的值不存在，所以等号不成立，所以.

11．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：

【答案】证明见解析

【解析】都是正数，（当且仅当时取等号）；

（当且仅当时取等号）；

（当且仅当时取等号）；

（当且仅当时取等号），

即.

12．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.

【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由已知得，由，可得，所以，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；

（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.

由，可得，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.

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第07讲基本不等式

1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；

2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；

3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式；

4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。

一、基本不等式的概念

1、两个不等式

（1）重要不等式：,（当且仅当时取号）.

常见变形公式：、

（2）基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.

常见变形公式：；

【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.

因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2、由公式和引申出的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

二、基本不等式的证明

1、法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.

这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，

这时有.

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）

2、法二：代数法

∵，

当时，；

当时，.

所以，（当且仅当时取等号“=”）.

三、基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，

过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，

其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

四、利用基本不等式求最值

1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.

①一正：各项均为正数；

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.

2、积定和最小，和定积最大

（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.

（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.

考点一：对基本不等式的理解

例1．不等式中，等号成立的条件是（）

A．B．C．D．

【变式训练】（多选）已知a，，且，则下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．

考点二：利用基本不等式比较大小

例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（）

A．B．C．D．

【变式训练】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．

考点三：利用基本不等式求和的最小值

例3．若，则的最值情况是（）

A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2

【变式训练】若，且，求的最小值．

考点四：利用基本不等式求积的最大值

例4．已知，则当取最大值时，的值为（）

A．B．C．D．

【变式训练】若，，且，则的最大值为（）

A．5B．6C．8D．9

考点五：利用基本不等式证明不等式

例5．已知，，且，求证：.

【变式训练】已知，，，求证：.

考点六：利用基本不等式解决实际问题

例6．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________．

【变式训练】如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．

（1）若，求x的取值范围；

（2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．

1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（）

A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64

8．（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（）

A．的最小值是2B．的最大值是1

C．的最小值是4D．的最大值是2

9．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（）

A．B．C．D．

10．已知.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值.

11．（1）已知，，，求证：；

（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.

12．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波