第十讲归纳推理的文化及内涵

第十讲归纳推理的文化及内涵第1页，课件共85页，创作于2023年2月归纳推理是从特殊性的前提得到一般性结论的推理方法.简言之,从特殊到一般即归纳推理.第2页，课件共85页，创作于2023年2月一、人们对归纳的认识

甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比．

——拉普拉斯分析与自然哲学中最重大的发现都应归功于这种丰富多产的方法，也就是所谓“归纳”方法，牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳法的成果。

拉普拉斯《概率的分析理论》第3页，课件共85页，创作于2023年2月拉格朗日五次获法国科学院大奖。他是最早意识到一般五次或更高次的代数方程不存在根式解的数学家之一。他的《关于方程的代数解的研究》，开辟了代数发展的新时期。他证明了威尔逊定理，证明了每个自然数可以表为最多四个平方数的和。证明了费尔马方程xn+yn=zn对于n=4无解，证明了佩尔(pell)方程解的存在性。1793年法国资产阶级革命政府颁布一项法令：将工切在敌国境内出生的人驱逐出境并没收其财产，但特别申明尊贵的拉格朗日先生除外。1796年法国吞没了皮埃蒙特，塔莱朗奉明郑重其事地去拜访仍在都灵的拉格朗日父亲，说：“你的儿子，由于他的天才，给人类带来了荣誉，皮埃蒙特为产生了他感到骄傲，法国为他自豪。”拉格朗日是一座高耸在数学世界的金字塔。（拿破仑）第4页，课件共85页，创作于2023年2月

只由观察得到而未证明的知识应当跟真实的结论仔细分开。我们通常说，这种知识来自归纳法，但我们已经看到，只靠归纳法会导向错误的结论，所以我们就不要把那些通过观察或者只靠归纳法发现的数的性质当作真实的结论。实际上，我们应该利用这种发观的机会对己发现的性质作更周密的研究。要么证明它成立，要么推翻它，不管结果怎样，我们都可学到一点有益的东西。—————欧拉

第5页，课件共85页，创作于2023年2月

一个真想把数学作为终身事业的学生必须学习论证推理；这是他的专业也是他那门学科的特殊标志。然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作赖以进行的那种推理．要成为一个好的数学家，…,你必须首先是一个好的猜想家．没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现．

————牛顿第6页，课件共85页，创作于2023年2月观察所得的知识，通常用归纳所获得的．然而我们已经看到过单纯的归纳曾导致过错误．因此，我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真．诚然，我们应该把这样一种发现当作一种机会，去更精确地研究所发现的性质，以便证明它或推翻它；在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．————欧拉

（美）G.波利亚著；数学与猜想第1卷数学中的归纳和类比李心灿等译；北京市：科学出版社，2001，P1第7页，课件共85页，创作于2023年2月二、数学家对归纳法的运用“复杂的多面体有许多面、角和棱”。F，V，E代表多面体的面数、顶点数和棱数，并提出一个明确的问题：“面数总是随顶点数的增加而增加吗？即F必定随V增加吗？”检验一些特殊的多面体：

对于立方体，有

F=6，V=8，E=12对于三棱柱，有F=5，V=6，E=9第8页，课件共85页，创作于2023年2月欧拉通过对棱锥、棱柱的面数、棱数、顶点数进行归纳研究，发现多面体的欧拉公式。P21第9页，课件共85页，创作于2023年2月第10页，课件共85页，创作于2023年2月

正二十面体有20个全都是三角形的面，也就是F=20。20个三角形有3x20=60条边，这里正二十面体的每一条棱都是两个三角形的边，所以棱数是且＝60／2＝30。类似地，可以求出V。正二十面体的每一个顶点周围有它的5个面。20个三角形有320＝60个角，其中5个角有一个公共的顶点，故顶点数V＝12。第11页，课件共85页，创作于2023年2月多面体FVEn个侧面的棱锥n+1n+12nn个侧面的棱柱n+22n3n第12页，课件共85页，创作于2023年2月在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理．

——高斯第13页，课件共85页，创作于2023年2月第14页，课件共85页，创作于2023年2月第15页，课件共85页，创作于2023年2月第16页，课件共85页，创作于2023年2月孪生素数只有有限对？第17页，课件共85页，创作于2023年2月第18页，课件共85页，创作于2023年2月第19页，课件共85页，创作于2023年2月整数三角形的研究运用了归纳法。第20页，课件共85页，创作于2023年2月整数三角形的研究是借用不等式、方程，最后运用归纳法得到结论。第21页，课件共85页，创作于2023年2月整数三角形的研究是借用不等式、方程，最后运用归纳法得到结论。观点第22页，课件共85页，创作于2023年2月第23页，课件共85页，创作于2023年2月第24页，课件共85页，创作于2023年2月巴策内由归纳法得到的：

任何正整数，或是平方数，或是不超过四个平方数的和。需要多少个平方数才能展示出所有整数?第25页，课件共85页，创作于2023年2月第26页，课件共85页，创作于2023年2月第27页，课件共85页，创作于2023年2月第28页，课件共85页，创作于2023年2月第29页，课件共85页，创作于2023年2月第30页，课件共85页，创作于2023年2月第31页，课件共85页，创作于2023年2月，利用高精度的计算机计算归纳发现，直到前26位数，a与b都是7.3811759408956579709872669.三、归纳法不可思义第32页，课件共85页，创作于2023年2月对此，有两种不同的认识：其一，直觉告诉我们a,b不等，前26位数相同真是一种不可思议的巧合；

其二，计算的直觉昭示a=b。

但如此不同的a,b相等难以置信。演绎推理与证明能告诉我们些什么？第33页，课件共85页，创作于2023年2月对于任意正数x,y有

对任意正数x,y都有A=B。在此等式中，取立即就有A=B。第34页，课件共85页，创作于2023年2月四、归纳法的分类1.完全归纳法2.不完全归纳法不完全归纳法在运用上可分为⑴枚举归纳法⑵因果归纳法第35页，课件共85页，创作于2023年2月根据归纳推理的前提与结论所作判断的范围是否相同,归纳推理可以分为1.完全归纳法2.不完全归纳法第36页，课件共85页，创作于2023年2月1.完全归纳法如果归纳推理前提的判断范围的总和等于结论判断的范围,则这种归纳推理叫做完全归纳法.M蕴涵M1,M2,…,Mn,M1,M2,…,Mn,都有性质p;则M也有性质p.第37页，课件共85页，创作于2023年2月设Mi是前提判断(i=1,2,…n)的各个判断范围,M是结论判断的范围.若Mi(i=1,2,…n)具有性质p,则由此推出M具有性质p.即第38页，课件共85页，创作于2023年2月过去，一家长让小孩买火柴，并一再嘱咐：要买根根划得着的。结果，小孩买回后，很兴奋地告诉家长，这火柴特好，每根都能点得着。这真是让家长啼笑皆非。完全归纳法用错了！！！！第39页，课件共85页，创作于2023年2月2.不完全归纳法如果归纳推理前提的判断范围的总和小于结论判断的范围,则这种归纳推理叫做不完全归纳法.M蕴涵M1,M2,…,MnM,且M1∪M2∪…∪Mn…

MM1,M2,…,Mn…都有性质p;则M也有性质p.第40页，课件共85页，创作于2023年2月设Mi是前提判断(i=1,2,…,n)的各个判断范围,M是结论判断的范围.若Mi(i=1,2,…,n)具有性质p,则由此推出M具有性质p.即不完全归纳法是似真推理不完全归纳法是似真推理不完全归纳法是似真推理不完全归纳法是似真推理不完全归纳法是似真推理不完全归纳法是似真推理不完全归纳法是似真推理不完全归纳法是似真推理第41页，课件共85页，创作于2023年2月列宁在《哲学笔记》中指出：

“以最简单的归纳方法所得到的最简单的真理，问题总是不完全的，因为经验总是未完成的。”第42页，课件共85页，创作于2023年2月不完全归纳法在运用上可分为⑴枚举归纳法⑵因果归纳法第43页，课件共85页，创作于2023年2月⑴枚举归纳法枚举归纳法是根据某类被研究对象中的部分对象具有(或不具有)某一属性p,而推断出该类全部对象具有(或不具有)某一属性p的归纳方法.第44页，课件共85页，创作于2023年2月面积为1的图形的周长周长为1的图形的面积图形周长图形面积圆3.55圆0．0793正方形4正方形0．0625900的扇形4.03900的扇形0．0616矩形(3:2)4.08矩形(3:2)0．0601半圆4.10半圆0．0595等边扇形4.21等边扇形0．0564矩形（2：1）4.24矩形（2：1）0．556等边三角形4.56等边三角形0．0481矩形（3：1）4.64矩形（3：1）0．0464等腰直角三角形4.84等腰直角三角形0．0427历史上的等周问题第45页，课件共85页，创作于2023年2月17世纪，笛卡尔也对等周问题，通过对面积为1的一些图形的周长和周长为1的一些图形的面积的研究，并作比较得到了结论：

在所有等周的平面封闭图形中，以圆的面积为最大；或在所有等面积的封闭图形中，以圆的周长为最小。第46页，课件共85页，创作于2023年2月相传在公元前180年左右，芝诺多罗斯写过一本有关等周图形的论著，惜已失传，但庆幸的是有若干命题被公元4世纪亚历山大里亚的学者帕波斯记载，才得以保存。其中有以下定理：（1）周长相等的边形的面积最大；（2）周长相等的正多边形中，边数愈多的正多边形面积愈大；（3）圆的面积比同样周长的正多边形的面积大；（4）表面积相等所有立体中，以球的面积为最大。

另外，帕波斯还增加了一个定理：在周长相等的所有弓形中，半圆的面积最大。这些等周问题的主题就是今天所谓极值问题。

边形中，正第47页，课件共85页，创作于2023年2月

伯努利兄弟，欧拉，拉格朗日等相继对等周问题进行了研究。1838年，雅各•史坦纳以几何方法证明：若答案存在，答案必是圆。但他的证明过程中出了一点小错误，正是这个错误，引发了后人的兴趣，不断地去研究、完善，从而推动了对等周问题的研究，让其得到了很大的发展。第48页，课件共85页，创作于2023年2月第49页，课件共85页，创作于2023年2月第50页，课件共85页，创作于2023年2月第51页，课件共85页，创作于2023年2月第52页，课件共85页，创作于2023年2月第53页，课件共85页，创作于2023年2月第54页，课件共85页，创作于2023年2月

罗素肯定归纳法在发现新知识时的重要作用。他说:

“归纳法不像演绎法那样确切可信，它只提供了或然性而没有确切性;但另一方面，它却给我们以演绎法所不能给我们的新知识。·····一切重要的推论全都是归纳的而非演绎的。”第55页，课件共85页，创作于2023年2月逻辑学家、数学家、物理学家与工程师：

“看这个数学家”，逻辑学家说，“他发现最初99个数少于100，因此，依其所谓的归纳法推定，所有的整数均小于100”。“物理学相信”，数学家说，“他发现60可以用1，2，3，4，5及6除尽，他再试验了若干个案例，如10，20，30也能整除60，故认为其实验证据已充分，60可以被所有的整数整除。”“不错，但是你看工程师”，物理学家说，“工程师怀疑所有的奇数是否皆质数，无论如何，他辩称1总是质数，无疑的3，5，7都是质数，然而9是可怕的案例，看来并非质数，虽然11及13不可否认是质数，再说9，这个数，他说，‘我断定9一定是实验上的错误。’第56页，课件共85页，创作于2023年2月亚里士多德也研究了归纳推理，但他仅仅粗略地研究了简单枚举法。“那种根据简单枚举来进行的归纳是非常幼稚的，其结论很不确定，极易为反例所动摇，其论断往往只是根据了少量唾手可得的事例。”第57页，课件共85页，创作于2023年2月⑵因果归纳法因果归纳法是依据某类对象的某一属性p,因条件A在一系列变化中对p的出现和变化有关键性的影响,从而推断A条件是该对象具有属性p的原因所使用的推理方法.第58页，课件共85页，创作于2023年2月确定因果关系的归纳方法有五种:①求同法②求异法③求同求异法④共变法⑤剩余法第59页，课件共85页，创作于2023年2月达·芬奇对归纳法有自己独到的一些见解，并将归纳方法运用于实际的研究。

“所有的推理，所有的证明，以及所有非自明真理的发现都包含有归纳及归纳的解释，我们所有非直觉的知识无一例外都是通过归纳得来的。”第60页，课件共85页，创作于2023年2月①求同法依据某类对象的某一属性中,在几种不同的情形下都出现,而在各种条件中,只有一个条件A是共同的,从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因.第61页，课件共85页，创作于2023年2月情形条件对象具有的属性ⅠA、B、CPⅡA、D、EPⅢ…A、F、G………P…结论:A可能是属性p产生的原因第62页，课件共85页，创作于2023年2月案例:abc2－432－2－1/2221/2结论:a决定抛物线的形状.xy第63页，课件共85页，创作于2023年2月案例:

伽利略在教堂里发现:摆长相等、振幅不相等时,摆动一个周期的时间不变.于是,猜测:

摆长是周期的决定因素.第64页，课件共85页，创作于2023年2月第65页，课件共85页，创作于2023年2月

案例：

某人在一个晚上看了两小时的书，又喝了几杯茶，结果整夜失眠．第二天晚上．他又读了两小时的书，吸了许多烟，结果又整夜失眠．第三天晚上．他又读了两小时的书，喝了大量咖啡，结果又整夜失眠．三个晚上只有一个共同情况：读了两小时书，应用归纳法得出：

读两小时书是整夜失眠的原因．第66页，课件共85页，创作于2023年2月第67页，课件共85页，创作于2023年2月②求异法依据某类对象的某一属性p,只在其中一种情形出现,而在其它情形不出现.在这二种情形中,除了其中一种情形中有A条件外,其它的条件都相同,从而推断A条件是被研究对象具有属性p的原因或部分原因.第68页，课件共85页，创作于2023年2月情形ⅠⅡ各种条件A,B,CB,C被研究的现象A－结论:

A是a产生的原因或部分原因.第69页，课件共85页，创作于2023年2月案例:两个边长相等的正方形,其中一个正方形的顶点重合于另一个正方形的中心,并绕O点旋转,无论旋到任何位置,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.正方形改为四边形,重叠部分的面积不是定值.

可见,正方形是重叠部分面积不变的原因.第70页，课件共85页，创作于2023年2月③求同求异法依据某类对象的某一属性p,在一系列情形中,凡是有A条件的都有属性p,凡是没有A条件的都没有属性p,从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因.第71页，课件共85页，创作于2023年2月第72页，课件共85页，创作于2023年2月情形条件对象具有的属性ⅠA,B,CPⅡA,D,EpⅢA,F,GpⅣ－,H,I－Ⅴ－,J,K－结论:A是属性p产生的原因.第73页，课件共85页，创作于2023年2月案例:

两个边长相等的正方形,其中一个正方形的顶点重合于另一个正方形的中心,并绕O点旋转,无论旋到任何位置,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.两个边长相等的正六边形也具有同样的性质.猜测:

产生这个现象的原因只在于两个多边形全等而且是正多边形,它与边数的多少无关.第74页，课件共85页，创作于2023年2月abc2－432－2－1/2221/2021结论:a决定图像的形状.xy第75页，课件共85页，创作于2023年2月④共变法情形条件对象具有的属性ⅠA1,B,Cp1ⅡA2,B,Cp2ⅢA3,B,Cp3结论:A是属性p产生的原因.第76页，课件共85页，创作于2023年2月abcy=ax2+bx+c形状2－431－434－43结论:条件a决定图形形状的主要原因.xy第77页，课件共85页，创作于2023年2月案例:求等差数列{an}的通项公式观察:a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3da5=a4+d=a1+4d

…………第78页，课件共85页，创作于2023年2月⑤剩余法依据某类对象的某一属性p,在一系列情形中,一组条件产生一组属性,如果除去条件A,属性p不出现,其余的条件均能确定余下的属性,从而推断A条件是被研究对象具有属性p的原因.第79页，课件共85页，创作于2023年2月案例非典(SARS)病毒病毒出现时，病源认为在广东，源于厨房里果子狸