2022-2023学年广东省阳江市阳春圭岗中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年广东省阳江市阳春圭岗中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知奇函数f(x)是R上的减函数，若m,n满足不等式组，则的最小值为（

）A.－4 B.－2 C.0 D.4参考答案：B【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数，则，且，画出可行域和目标函数，，即，表示直线与轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点，即时，有最小值.故选：.

【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.2.设是函数的零点．若，则的值满足（

）A．

B．C．

D．的符号不确定参考答案：C3.已知函数则（

）A．

B．2

C．4

D．11参考答案：C4.同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是

A．

B．

C．

D．参考答案：C解析：逐一排除即可5.是虚数单位，复数满足，则A.或

B.2或5

C.

D.5参考答案：C因为，所以，解得，所以，故选C.6.已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又f（x）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=在[﹣3，3]上的图象，数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6，故选：B．7.要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得y=cos（2x﹣）=sin（2x+），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin[（2x﹣）+]=sin（2x+），∴若函数y=sin2x=f（x），则函数g（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]=f（x+）．因此，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，即函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=cos（2x﹣）的图象．故选：A【点评】本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离．着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题．8.满足的（

）A．存在且有无限个 B．存在且只有有限个C．存在且唯一 D．不存在参考答案：A9.根据右边的程序框图，输出的结果是

（

）

A．15

B．16

C．24

D．25参考答案：B略10.若直线与直线互相垂直，那么a的值等于(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由得，故选D.考点：平面内两直线垂直与平行的判定.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若命题“存在实数x，使”的否定是假命题，则实数a的取值范围为

．参考答案：（-，-2）（2，+）12.设，，且，则当取最小值时，______.参考答案：12【分析】当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．【详解】解析：∵，，∴当取最小值时，取得最小值，∵，又，∴，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴当取最小值时，，，∴，∴.【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．13.在直角梯形ABCD中，AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC=90°，将△DBC沿BD向上折起，使面ABD垂直于面BDC，则C－DAB三棱锥的外接球的体积为-________.参考答案：14.若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是

.参考答案：因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。当时，，要使两个函数的图象有两个公共点，则有，即，所以的取值范围是。15.函数是幂函数，且在上是减函数，则实数____.参考答案：2略16.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________.参考答案：【分析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解。【详解】因为，，所以，所以，故答案为【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题17.函数的部分图象如图所示,则的值分别是_____________、______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=+（∈N*），试求（b1+b2+…+bn﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】数列的极限；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过4an+1=4Sn+1﹣4Sn得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，进而可得结论；（2）通过分离bn的分母可得bn=2+2（﹣），累加后取极限即可；（3）假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+…+am+k=300，通过（1）可得300=（2m+k﹣1）（k+1），利用2m+k﹣1＞k+1≥4，且2m+k﹣1与k+1的奇偶性相同，即得结论．【解答】解：（1）∵4Sn=（an+1）2，∴4Sn+1=（an+1+1）2，两式相减，得4an+1=4Sn+1﹣4Sn=（an+1）2﹣（an+1+1）2=﹣+2an+1﹣2an，化简得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，又∵数列{an}各项均为正数，∴an+1﹣an=2（n∈N*），∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an=2n﹣1（n∈N*）．（2）因为bn=+=+=2+2（﹣），故b1+b2+…+bn=2n+2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2n+2（1﹣），于是（b1+b2+…+bn﹣2n）=[2（1﹣）]=2；（3）结论：存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+…+am+k=300．理由如下：假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+…+am+k=300，由（1），可得am+am+1+…+am+k=（2m+k﹣1）（k+1），从而（2m+k﹣1）（k+1）=300，由于正整数m、k均大于2，知2m+k﹣1＞k+1≥4，且2m+k﹣1与k+1的奇偶性相同，故由300=22×3×52，得或，解得或，因此，存在大于2的正整数m、k：或，使得am+am+1+…+am+k=300．【点评】本题考查求数列的通项，涉及到极限等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知函数．（1）若，证明：；（2）若，求a的取值范围．参考答案：(1)见证明；(2)【分析】（1）利用基本不等式证明；（2）即解不等式，再利用分类讨论法解不等式得解.【详解】解：（1）证明：若，则，当且仅当时，等号成立，从而（2）由，得，当时，，即恒成立，则；当时，，则；当时，，则或，综上，的取值范围为【点睛】本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.某公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）(1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？参考答案：（1）设投资万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，依题意可设.

由图1，得即.

由图2，得即

故.

(2）设B产品投入万元，则A产品投入10-万元，设企业利润为万元，由（1）得

，

当，即时，.因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。21.如图，空间几何体ADE﹣BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（2）在（1）的条件下，平面MDF将几何体ADE﹣BCF分成两部分，求空间几何体M﹣DEF与空间几何体ADM﹣BCF的体积之比．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）当M是线段AE的中点时，连结CE交DF于N，连结MN，则MN∥AC，由此得到AC∥平面MDF．（2）将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B'CF，由此利用割补法能求出空间几何体M﹣DEF与空间几何体ADM﹣BCF的体积之比．【解答】解：（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，证明如下：连结CE交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，又MN在平面MDF内，所以AC∥平面MDF

（2）将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B'CF，三棱柱ADE﹣B'CF的体积为V=S△ADE?CD=则几何体ADE﹣BCF的体积：VADE﹣BCF==8﹣又三棱锥F﹣DEM的体积V三棱锥F﹣DEM=，∴空间几何体M﹣DEF与空间几何体ADM﹣BCF的体积之比为：：（）=22.为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂（Ⅰ）求从A,B,