河南省开封市仙人庄中学2021年高三数学文模拟试卷含解析

河南省开封市仙人庄中学2021年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部，若数列的前项和为，则(

)A．

B．

C.

D．参考答案：C由题意得，∴当时，，又，故当时，，∴当时，．∴．选C．

2.已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）?的值为（） A． B． C． 1 D． 2参考答案：B3.已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是参考答案：C4.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．36 B．24 C．12 D．6参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其中底面边长为3的正方形，棱锥的高为4，∴四棱锥的体积．故选C．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．5.已知P={x|﹣4≤x≤2，x∈Z}，Q={x|﹣3＜x＜1}，则P∩Q=（）A．（﹣1，3） B．[﹣2，1） C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】化简集合P，根据交集的定义写出P∩Q．【解答】解：集合P={x|﹣4≤x≤2，x∈Z}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，Q={x|﹣3＜x＜1}，则P∩Q={﹣2，﹣1，0}．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．6.公比不为等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在△ABC中，则∠BAC=

A．

B．

C．

D．或参考答案：C8.函数的零点所在的区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H信MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积V=VE﹣AQPD+VEPQ﹣FMN+VF﹣NBCM，由此能求出结果．【解答】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H信MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积：V=VE﹣AQPD+VEPQ﹣FMN+VF﹣NBCM=+S△EPQ?NQ+=++=5（立方丈）．故选：B．10.右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于(

)(A)

10

(B)

9

(C)

8

(D)

7参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，，则满足不等式的实数的取值范围是

．

参考答案：略12.已知函数，若函数的图象在点处切线的倾斜角为，则___________.参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B114

解析：由题意，函数在点处的切线斜率是，即，又，所以，即.故答案为：4.【思路点拨】先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可．13.向量，，满足，，，，则=________．参考答案：14.已知实数x,y满足若取得最大值时的最优解（x,y）有无数个，则的值为________参考答案：115.已知，，，则向量与向量的夹角为_______________．参考答案：16.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，若，则

.参考答案：17.已知f（x）的定义域为[﹣1，1]，则函数g（x）=ln（x+1）+f（2x）的定义域为．参考答案：

【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由f（x）的定义域求出f（2x）的定义域，再与对数式的真数大于0联立得答案．【解答】解：∵f（x）的定义域为[﹣1，1]，∴由，解得．∴函数g（x）=ln（x+1）+f（2x）的定义域为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.(1)求椭圆的方程；(2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.参考答案：(1)由，，依题意，是等腰直角三角形，从而，故，所以椭圆的方程是.(2)设，，直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得：，，，若平分，则直线，的倾斜角互补，所以，设，则有，将，代入得，，整理得，由于上式对任意实数都成立，所以.综上，存在定点，使平分.19.函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.参考答案：解：（1）

……（6分）（每对一个得2分）（2）

又在上单调递增 在上单调递减……（10分）因此在上的值域为……（12分）略20.已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．∴，a=2c，∴a2=4c2，b2=3c2，将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r0，则有，，∴=，而==，∴，解得t2=1，∵所求圆与直线l相切，∴半径=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．…21.已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与直线相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．当时，射线OE交直线于点为坐标原点，求的最小值；当，且时，求m的取值范围．参考答案：Ⅰ；Ⅱ（i）2；（ii）（0,2）.【分析】（Ⅰ）利用点到线的距离公式与求解即可.（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M,N的二次方程与韦达定理,继而得出点的坐标,再化简求得的解析式,利用的关系换元求最值即可.当,且时,则,再表达出斜率的关系式化简利用的关系求m的取值范围即可.【详解】Ⅰ,设椭圆的右焦点,由题意得：,解得：,所以椭圆的方程：；Ⅱ）（i）设,,将直线与椭圆联立整理得：,即,且，,所以MN的中点,所以射线OE：,与直线的交点,所以,所以,当且仅当,所以时有最小值2．（当,且时,则,所以,即,解得,所以m取值范围．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.22.今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n套房源，则设置n个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源.（1）求每个家庭中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702，2703；第28层有4套房，房间号分别记为2803，2804，2806，2808.（i）求该单元27，28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数；（ii）求甲、乙两个家庭能住在同