概率统计复习题5及答案

复习题5及答案

一、填空题

1.甲、乙、丙三人在同一时间内分别破译某个密码，设甲、乙、丙三人能单独译

出的概率分别为0.8，0.7和0.6，则密码能被译出的概率为_________.

由加法定理和独立性可得所求概率为：

0.8+0.7+0.6－0.8*0.7－0.8*0.6－0.7*0.6+0.8*0.7*0.6

2.设P(A)0.8,P(AB)0.5且A与B独立，则P(B)___________。

P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)

P(A)P(A)P(B)0.51P(B)0.50.625

P(A)

故P(B)0.375

3.设随机变量X服从参数2的泊松分布，则P(X1)=_____________

P(X1)1P(X0)12e21e2

0!

0

。

4.设随机变量X、Y相互独立，且D(X)1，D(Y)2，则D(3X2Y)_____。

由

独

立

随

机

变

量

的

方

差

的

性

质

可

得

D(3X2Y)D(3X)D(2Y)9D(X)4D(Y)17

5.X1,X2,

,Xn是来自总体X的样本，若统计量aiXi是总体均值EX的无

n

i1

偏估计量，则ai_________。

n

i1

由无偏估计量的定义E()E(aiXi)aiE(Xi)aiai1

n

n

n

n

i1

i1

i1

i1

6.设X1,X2,,X17是总体N(u,4)的样本，S2是样本方差，若P(S2a)0.01，

则a____________.

（注：0.01(17)33.4,0.005(17)35.7,0.01(16)32.0,0.005(16)34.3）

2

2

2

2

P(Sa)P(

16S216a)0.01

4

4

由定理5.1知16S

2

（17-1），故16a0.01(16)32.0

2

2

4

4

于是a8

2

-1-

二、选择题

1.对于任意两事件A和B，与ABB不等价的是

（

(D)

）

AB

(A)AB

(B)

BA

(C)AB

由ABB易知AB，然后此类有关随机事件关系的题

画venn图很快就知道答案为D

2.设随机变量X的概率密度为fX(x)，Y2X3，则Y的概率密度为（

(A)1fX(y3)

2

2

(C)1fX(y3)

2

2

）

(B)

(D)

1f(

2X

1f(

2X

y3)

2

y3)

2

这是有关一维随机变量的函数的分布问题由于y2x3

是严格单调函数，所以直接有公式可得答案为B

3.设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为(x)，则P(|X|2)的值为（

（A）2[1(2)].

（B）2(2)1.

（C）2(2).

（D）12(2).

这是正态概率计算的问题：P(|X|2)1P(|X|2)

）

1(2)-(-2)）2(1-(2))

（

4.设总体均值为，方差为2，n为样本容量，下式中错误的是（

(A)E(X)0(B)D(X)

2

(C)E(S2)1(D)X

2

n

/n

）

N(0,1)

此题答案为（D）,因为并没有告诉我们总体是正态总体，A）(B)正确是很显然

（

的，(C)为什么正确呢？我们上新课的时候曾经证明过样本方差是总体方差的无

S2)E(S2)21

E(2

偏估计(不管总体是什么分布都成立)，所以

2

2

5.下列统计量中哪个是回归统计检验的统计量（

(A)u2

(B)t2

）

(D)F(1,n2)

(C)F(r1,nr)

此题答案为(D),记住书中的结论即可，事实这道题是有问题的，他给出的不

是统计量，而是分位数，大家就原谅他吧，哎!

6.

设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,32)，设X1,X2,

Y1,Y2,

,X9和

,Y9分别是来自两个总体的简单随机样本,则统计量

-2-

UX1X2X9服从的分布是（

(Y12Y22Y92)

）

（A）t(9)

（B）

t(8)

（C）N(0,81)

（D）N(0,9)

此处考得是第五章有关统计中三大分布的构造性定义，

由给的形式很容看到

一定是t分布，再到分母中看看自由度是9，故答案是（A）

三、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的

事件是相互独立的，

并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，X的

求

分布列、数学期望和方差.

解：注意这题让我们求分布列，故不紧要给出它是服从二项分布的，而且要

具体给出二项分布的取值及取值的概率，

求期望和反差是就记住二项分布的公式

直接套用

X的概率分布为

P(Xk)C3k(2)k(3)3k

55

k0,1,2,3.

即

0

27

P

125

EX326

55

X

2

3

36

8

125

125

DX32318

5525

1

54

125

四、某保险公司的调查表明，新保险的汽车司机中可划为两类：第一类人易出事

故，在一年内出事故的概率为0.05，第二类人为谨慎的人，在一年内出事故的

概率为0.01.假设第一类人占新保险司机的30%，现从新入保险的汽车司机中

任抽取一人，求（1）此人一年内出事故的概率是多大？（2）如果此人出了事

故，此人来自第一类人的概率多大？

解此题是典型的考全概率公式和BAYES公式的题：

设B＝{此人出事故}，

A1，A2分别表示此人来自第一类人和第二类人

由已知，有

P(A1)0.3，P(A)0.7，

2

P(BA1)0.05

（1）由全概率公式有

，P(BA2)0.01，

P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)0.30.050.70.010.022

（2）由贝叶斯公式有

P(A1B)

P(A1)P(BA1)0.30.0515

0.682.

P(B)

0.022

22

-3-

答：从两类人中任意抽取一人，此人一年内出事故的概率为0.022；

五、设随机变量X的概率密度为

ax1,0x2

f(x)

0,

其他

求（1）常数a；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(1X3)

解

（1）1

f(x)dx2(ax1)dx(ax2x)202a2a1

0

2

2

（2）X的分布函数为

F(x)

x

0,

f(u)du(1u)du,

x

0

2

1,

0,

0x2,xx,

2

4

x2.

1,

x0,

x0,

0x2,

x2.

（3）P(1x3)

3

1

f(x)dx2(1x)dx1

1

2

4

（这儿概率还有一种求法，

大家都知道吧，哈哈，如果不知道，你可能这辈子也别想知道了，因为我没打算再讲）

六、设(X,Y)在由直线x1,xe2,y0及曲线y1所围成的区域

x

上服从均匀分布，

（1）求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否独立.

（2）求P(XY2).

解：区域D的面积SD

y

e2

1

1dxlnxe22

x

1

1,(x,y)D,

(X,Y)的概率密度为f(x,y)2

0,其它.

y=1/x

D

0

1

e2

x

（1）fX(x)

11

f(x,y)dy0x2dy,

0,

1xe2,2x,

1

其它.

0,

1xe2,

（这

其它.

里大家都知道x是如何分段的吧？不知道的话就求我吧，或许我会再讲一次的哦）

-4-

fY(y)

e21dx,

12

f(x,y)dx

1y1dx,

12

0,

1(e21),

2

11

e2y1,2y2,

其它

0,

1ye2,

1ye2

e2y1

其它

注意这里的y的分段哦，和平常遇见的有点不一样哦，平常我讲的方法仍然管用，现将y

分成三段，

再在中间那段分成两段，

一个思路就是看被积函数你是否确定用什么形式代进去。

（2）因f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y不独立.

（3）P(XY2)1P(XY2)1

xy2

f(x,y)dxdy

2dx2x1dy1111130.75

1

0

2

22

44

七、已知多名实习生相互独立地测量同一块土地的面积，设每名实习生得到的

测量数据X平方米服从正态分布N(,2)，从这些测量数据中随机抽取7个，

经计算，其平均面积为125平方米，标准差为2.71平方米，

（1）求：的置信度为90%的置信区间；

（2）检验这块土地的面积显著为124平方米是否成立（显著性水平为0.1）.

（注：

0.11.29,0.051.65

t0.1(7)1.415,t0.1(6)1.440,t0.05(7)1.895,t0.05(6)1.943

）

背公式的题来了哦，看看方差给了没有？没有，是吧，所以你该知道用哪个公式了哦

解：1）的置信度为1下的置信区间为

（

(Xt/2(n1)S,Xt/2(n1)S)

其中，X表示样本均值，S表示样本标

n

n

准差，n表示样本容量，又X125,S2.71,n7,0.1,t0.05(6)1.943

所以的置信度为90%的置信区间为（123，127）

（2）本问题是在0.10下检验假设H0:124,H1:124,

由于正态总体的方差2未知，所以选择统计量T

X0

，

S/n

由题意知，在H0成立的条件下，此问题的拒绝域为

-5-

|T|1251240.976t(n1)

2.71/7

2

这里显然0.9761.943t0.05(71)，说明没有落在拒绝域中，从而接受零假设H0，即在

显著性水平0.10下，可认为这块土地的平均面积显著为124平方米。

八、

某粮食加工厂用4种不同的方法贮藏粮食，一段时间后，分别抽样化验其含

水率，每种方法重复试验次数均为5次，所得粮食含水率的方差分析表的部

分数据如下，试完成方差分析表并给出分析结果。

方差来源

组间（贮藏方法）

组内（误差）

平方和

4.8106

4.5263

自由度

F值

F临界值

总和

(参考临界值：F0.05(4,19)5.01，F0.01(4,16)4.77，F0.01(3,16)5.29)

又是一道记公示的题哦，记清楚每一个细节哦，你看看临界值给了这么多呢，到底是哪一个

呢？

方差分析表

方差来源

平方和

SSA=4.8106

SSe=4.5263

自由度

均方和

1.6038

0.2829

F值

5.6681

F临界值

5.29

因素A

误差

总和

3

16

19

9.3369

方差总和9.3369，