浙江省衢州市江山滨江高级中学高二数学理期末试题含解析

浙江省衢州市江山滨江高级中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A.y＝x－1B.y＝－x＋1

C.y＝2x－2

D.y＝－2x＋2参考答案：A略2.下列结论中不正确的个数是（

）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③线性回归直线不一定过样本中心点④“若，则”的逆否命题是假命题A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】①判断由，能不能推出，再判断由，能不能推出，最后根据充分条件和必要条件的定义，判断本命题的真假；②根据全称量词的否定应该为特称量词，进行判断；③根据线性回归直线一定过样本中心点进行判断；④根据原命题与逆否命题是等价命题，可以判断原命题的真假即可.【详解】①当时，显然，但是当时，可以得到，显然不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件，是真命题；②的否定是，所以本命题是假命题；③线性回归直线一定过样本中心点，所以本命题是假命题；④因为原命题与逆否命题是等价命题，所以判断原命题的真假即可.可得,所以可以判断“若，则”是假命题，故本题的说法是正确的，综上所述：结论中不正确的个数是2个，故本题选B.【点睛】本题考查了判断有关数学结论的正确性问题，考查了数学知识的综合性判断.3.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于

A．

B．或2

C．2

D．参考答案：A4.已知函数y=，当x由2变为1.5时，函数的增量为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：C【考点】变化的快慢与变化率．【分析】直接由f（2）﹣f（1.5）得到函数的增量【解答】解：函数，当x由2变为1.5时，函数的增量为f（1.5）﹣f（2）=﹣=﹣1=，故选：C【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，考查了函数的增量，是基础的计算题．5.已知数列{an}满足a1=1，an?an+1=2n，则=(

)A．2 B． C． D．参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件得a1=1，a2=2，且数列{an}的奇数列、偶数列分别成等比数列，由此能求出答案．【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，an?an+1=2n，n∈N*，∴n=1时，a2=2，∵an?an+1=2n，∴n≥2时，an?an﹣1=2n﹣1，∴，∴数列{an}的奇数列、偶数列分别成等比数列，则=．故选：A．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．6.设集合A={2,3,4},B={2,4,6},若x∈A且x?B,则x等于()A.2

B.3 C.4 D.

6参考答案：B略7.在等差数列中,则

（）A.24

B.22

C.20

D.-8参考答案：A略8.如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（）A．± B．±2 C． D．±参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c2=7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|∴|BF1|=2a又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|?|BF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，∴b=a，∴双曲线的渐近线的斜率为±，故选C．9.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A略10.已知，则向量与的夹角是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．参考答案：（x﹣）2+y2=【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．12.若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，8]【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．13.中，，，，则

；参考答案：略14.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为

．参考答案：16【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=，∵丙专业有400人，∴要抽取400×=16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中．15.已知y=ln,则y′=________.参考答案：略16.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为______

参考答案：17.如图，平面，AD=4，BC=8，AB=6，在平面上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的面积的最大值是

。参考答案：12略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直线EF与平面PAD所成角．（2）取AD中点O，连结OP．以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面EFG的法向量，求出，利用直线MF与平面EFG所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD．…又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，所以直线EF与平面PAD所成角的为：．…（2）取AD中点O，连结OP，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD所以PO⊥平面ABCD…如图所示，以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣2，0），B（4，﹣2，0），，，G（4，0，0）所以，…设平面EFG的法向量为，由即可取…设…即（xM，yM+2，zM）=λ（4，0，0），解得，即M（4λ，﹣2，0）．故…设直线MF与平面EFG所成角为θ，，…解得或．…因此AM=1或AM=3．…19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.参考答案：证：（1）由题意可得是的中点，连接平面，则，而，∴是中点，在中，，∴平面.………4分（2）平面，∴，由题可得平面，∴平面是中点，是中点，∴且，平面，∴，∴中，，∴∴．.…………12分20.(12分)已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，x2＋lnx<x3.参考答案：(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0…………2分，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)…………4分．(2)设g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，…………6分

∵当x>1时，g′(x)＝>0，∴当x>1时，x2＋lnx<x3.，…………12分21.某企业拟投资、两个项目，预计投资项目万元可获得利润万元；投资项目万元可获得利润万元.若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？

参考答案：解：设投资x万元于A项目，则投资（40－x）万元于B项目，

2分总利润

7分

10分当x＝15时，Wmax＝325(万元)．

12分

故投资A项目15万元，B项目25万元时可获得最大利润，最大利润为325万元.

……

13分略22.（14分）我县某中学为了配备高一新生中寄宿生的用品，招生前随机抽取部分准高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生应寄宿，且该校计划招生1800名，请估计新生中应有多少名学生寄宿；（3）若不安排寄宿的话，请估计所有学生上学的平均耗时（用组中值代替各组数据的平均值）．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由直方图概率的和为1，求解即可．（2）求出新生上学所需时间不少于40分钟的频率，然后求出1800名新生中学生寄宿人数．（3）用组中值代替各组数据的平均值求解即可．【解答】解：（1）