2022-2023学年贵州省黔西南州金成实验学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第第页2022-2023学年贵州省黔西南州金成实验学校高一（下）期末数学试卷（含解析）2022-2023学年贵州省黔西南州金成实验学校高一（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共60分）

1.在复平面内，复数所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为()

A.石B.石C.石D.石

3.设，为两个平面，则的充要条件是()

A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行

C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面

4.正方体中，与平面所成角的余弦值为()

A.B.C.D.

5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为()

A.B.C.D.

6.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为()

A.B.C.D.

7.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看作所有棱长均为的正四棱锥现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为()

A.B.C.D.

8.第届世界博览会于年月日至月日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是米，下底面边长是米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为()

A.B.C.D.

9.设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是()

A.B.是纯虚数

C.若，则D.若，则的最大值为

10.某校进行防疫知识问卷测试，已知该校高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为的样本若在高一年级中抽取了人，则下列结论一定成立的是()

A.样本容量

B.在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的

C.高二年级，高三年级应抽取的人数分别为人，人

D.如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为分，分，分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为分

11.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是()

A.B.

C.D.

12.多选已知数据，，，的平均数为，标准差为，则下列说法正确的是()

A.数据，，，的平均数为，标准差为

B.数据，，，的平均数为，标准差为

C.数据，，，的平均数为，方差为

D.数据，，，的平均数为，方差为

二、填空题（本题共4小题，共20分）

13.一个袋子中有质地和大小相同的个球，其中有个红色球，个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出个球，则事件“第一次摸得红球，第二次摸得绿球”的概率为．

14.已知向量，，，若，则______．

15.中，角，，的对边分别是，，，已知，，则______．

16.足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数，顶点数，棱数满足，那么，足球有______个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为______结果保留整数

参考数据．

三、解答题（本题共6小题，共70分）

17.为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的名学生，得到的频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前组的频数和为，后组的频数和为．

Ⅰ设最大频率为，求的值；

Ⅱ从，中按分层抽样的方法抽取人，再从人中抽取人，求这人的视力都在内的概率．

18.已知，，，

求与的夹角；

求；

若，，求的面积．

19.如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，求证：

平面；

．

20.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

；；的面积为．

在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，_____．

求；

求的值．

21.某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚现在员工中随机抽取人进行调查，当不处罚时，有人会迟到，处罚时，得到如下数据：

处罚金额单位：元

迟到的人数

若用表中数据所得频率代替概率．

Ⅰ当处罚金定为元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？

Ⅱ将选取的人中会迟到的员工分为，两类：类员工在罚金不超过元时就会改正行为；类是其他员工现对类与类员工按分层抽样的方法抽取人依次进行深度问卷，则前两位均为类员工的概率是多少？

22.如图在中，是边的中点，是边上靠近的三等分点，与交于点．设，．

用，表示；

过点的直线与边，分别交于，设，，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出所对应的点的坐标得答案．

【解答】

解：，

复数所对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选：．

2.【答案】

【解析】解：由题意，这批米内夹谷约为石，

故选：．

根据粒内夹谷粒，可得比例，即可得出结论．

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．

3.【答案】

【解析】解：内有无数条直线与平行，不一定有，也可能相交，故A错误；

内有两条相交直线与平行，则，反之成立，故B正确；

，平行于同一条直线，不一定有，也可能相交，故C错误；

，垂直于同一平面，不一定有，也可能相交，故D错误．

故选：．

由平面与平面平行的判定逐一分析四个选项得答案．

本题考查平面与平面平行的判定，考查充分必要条件的应用，是基础题．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与平面所成的角．

正方体上下底面中心的连线平行于，则与平面所成角就是与平面所成角，在直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．

【解答】

解：如图，设上下底面的中心分别为，，设正方体的棱长等于，

易得，

则与平面所成角就是与平面所成角，即，

直角三角形中，，

故选：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了列表法求概率，属于基础题．

首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】

解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：

甲，乙锤剪子包袱

锤锤，锤锤，剪子锤，包袱

剪子剪子，锤剪子，剪子剪子，包袱

包袱包袱，锤包袱，剪子包袱，包袱

由表格可知，共有种等可能情况．其中平局的有种：锤，锤、剪子，剪子、包袱，包袱．

甲和乙平局的概率为：．

故选：．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查斜二侧画法，属于基础题．

根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长．

【解析】

解：根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，

底边长，高，

所以，

直角三角形的周长为．

故选A．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体的结构特征及相关计算，考查运算求解能力，属于中档题．

由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求，求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径．

【解答】

解：由粽子的形状是所有棱长均为的正四棱锥，

得每个侧面三角形的面积为．

粽子的表面积为；

球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，

正四棱锥的高为，设球的半径为，

四棱锥的体积，解得．

故选：．

8.【答案】

【解析】解：依题意得“斗冠”的高为米，如图，，

，

为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，

．

，，

，，

故选：．

求出“斗冠”的高为米，作出直观图，得，，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，由此能求出“斗冠”的侧面与上底面的夹角．

本题考查“斗冠”的侧面与上底面的夹角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．

9.【答案】

【解析】解：设，，，

则，，故A选项正确，

当为实数，是实数，故B选项错误，

若，

则，故C选项错误，

若，设，，，

即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为，故D选项正确．

故选：．

根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数模公式和复数的几何意义，即可求解．

本题主要考查了复数的运算法则，以及复数模公式和复数的几何意义，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于，由题意可知，，解得，故A正确；

对于，在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是相等的，故B错误；

对于，高二年级抽取的人数为：人，

高三年级抽取的人数为：人，故C正确；

对于，高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为分，分，分，

则估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为：，故D正确．

故选：．

根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数公式，即可依次求解．

本题主要考查分层抽样的定义，以及平均数公式，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：，是正确的，同理也正确，

对于答案可变形为，通过等积变换判断为正确

故选：．

根据，是正确的，同理也正确，再由答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．

本题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．

12.【答案】

【解析】解：对于，数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数无法求出，故A错误；

对于，数据，，，的平均数为，

数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，标准差为，故B正确；

对于，数据，，，的平均数为，方差为，故C正确；

对于，数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，故D错误．

故选：．

由平均数、方差的定义及公式，逐一判断即可得结论．

本题考查了平均数及方差的定义，同时考查了化简运算的能力，属于基础题．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是逻辑推理及数学运算，属于基础题．

先求出从袋中不放回地依次随机摸出个球，再求出事件“第一次摸得红球，第二次摸得绿球”的基本事件个数为，即可利用古典概型概率计算公式求出所求概率．

【解答】

解：由题意可知不放回地依次随机摸出两个球的基本事件总数，

事件“第一次摸得红球，第二次摸得绿球”的基本事件个数为，

所以所求概率为．

故答案为：．

14.【答案】

【解析】解：；

；

；

；

；

．

故答案为：．

根据即可求出，从而可求出，这样即可求出的值．

考查向量平行时的坐标关系，以及向量坐标的加法运算，根据向量的坐标可求向量的长度．

15.【答案】

【解析】解：，，

又，由余弦定理可得：，

，

，

．

故答案为：．

化简已知等式可得，又，由余弦定理可得：，利用两角差的正弦函数公式可求，结合范围，可求的值．

本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属基础题．

16.【答案】

【解析】解：由足球的表面为正六边形和正五边形构成，且每块正五边形的周围都是正六边形，

可得每相邻的多边形都有一条公共边，每个顶点处都有三条边，且一个正五边形，连接两个正六边形．

设正五边形有块，正六边形有块，可得

解得，所以足球表面有个正六边形的面，

每个正六边形的面积为，

每个正五边形的面积为，

球的表面积

．

所以，

，所以足球的直径为．

故答案为：；．

首先根据足球表面的特点，设正五边形有块，正六边形有块，可得，且，解得，，分别计算每个正六边形和正五边形的面积，进而得到足球的表面积，再由球的表面积公式计算，可得球的直径．

本题考查球的表面积公式的运用，以及正多边形的性质和面积的运用，考查转化思想、方程思想和运算能力，属于中档题．

17.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图知组距为，

前组频数和为，

则第四组频数为最大，

故最大频率为；

Ⅱ由图可得

第一组频数为人，

第二组频数为人，

则第三组频数为人，

从，两组中按分层抽样的方法抽取人，

则中抽取人，

中抽取人，

再从这人中抽取人，基本事件总数，

则有人在组中包含的基本事件个数，

恰有人在组中的概率．

【解析】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

Ⅰ由频率分布直方图知组距为，前组频数和为，由到之间的频数最大为，由此可得；

Ⅱ从，中按分层抽样的方法抽取人，则抽取人，抽取人，再从这人中抽取人，基本事件总数，两人都在组中包含的基本事件个数，由此能求出概率．

18.【答案】解：，，

又，，，，

，

又，．

．

与的夹角，

又，

．

【解析】本题考查向量的夹角模长和正弦定理的应用，本题解题的关键是对于所给的表示式的整理，得到要用的数量积，属于基础题．

根据两个向量的数量积的值，把这两个向量展开，写出有关向量的模长和数量积的表示式，得到两个向量的数量积，代入求夹角的公式得到夹角的余弦值，求出夹角；

利用模长公式求模长；

结合两个向量的夹角，求出三角形的内角，用正弦定理写出三角形的面积的表示形式，代入模长和夹角得到结果．

19.【答案】证明：因为点，分别是，的中点，

所以，

又因平面，平面，

从而平面．

因为点是的中点，且，

所以，

又因，平面，平面，

，

故AE平面，

因为平面，

所以．

【解析】证明，利用直线与平面平行的判断定理证明平面．

证明，结合，推出平面，然后证明．

本题考查直线与平面平行以及垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

20.【答案】解：方案一：选择条件：，

，

，

由解得或舍去，

，

；

方案二：选择条件：由解得或舍去，

；

方案三：选择条件：，

，

，

由解得或舍，

，

；

，

，，

．

【解析】方案一：选择条件