四川省宜宾市县蕨溪中学2021年高三数学理测试题含解析

四川省宜宾市县蕨溪中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，已知函数，对于任意，都有，则实数m的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意，转化为任意，，利用导数得到函数的单调性，求得和，由，即可求解.【详解】设函数，由当时，对于任意，都有，即对于任意，，由于，那么在上单调递减，而，在上单调递减，所以，，则，那么，或，结合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.2.过点（5，2），且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是

A．

B．或

C．

D．或参考答案：B3.集合，，若，则的值为()A.0

B.1

C.2

D.4参考答案：D4.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角，则过A，B，C，D四点的球的表面积为A.2π

B.3π

C.4π

D.5π

参考答案：D折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为， 故其外接球的半径为，其表面积为.故选D.5.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对参考答案：A【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状．【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台．故选A．【点评】本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化．6.已知函数f（x）=Asin（，其导函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（

）

A．

B．C． D．参考答案：B7.设a，b∈R，集合，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：C考点：集合的相等；集合的确定性、互异性、无序性．分析：根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．解答：解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．点评：本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点8.已知等差数列的前项和为，且则(

)A．11 B．16 C．20 D．28参考答案：C略9.（文科）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则A．

B．

C．

D．参考答案：B10.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x?g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现的次数为

.234567┅35791113┅4710131619┅5913172125┅61116212631┅71319253137┅┅┅┅┅┅┅┅

参考答案：略12.等比数列（）中，若，，则

.参考答案：64在等比数列中，，即，所以，。所以。13.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值为

▲

；若该平面区域存在点使成立，则实数的取值范围是

▲

.参考答案：，14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A（2，）到直线l：的距离为

.

参考答案：115.海中有一小岛，周围nmile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6nmile以后，望见这岛在北偏东30°.如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________nmile后海轮会触礁.参考答案：16.已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，的值为

参考答案：17.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为

（结果用最简分数表示）.参考答案：从袋中任意取两个球，共有种。若编号为奇数，则有种，所以编号的和是奇数的概率为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2g（x）．（1）当a=﹣2时，求函数g（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（，e）内有且只有一个极值点，试求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数f（x）的导数，根据零点存在定理得到f′（）?f′（e）＜0，求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=﹣2时，g（x）=+2lnx，g′（x）=，（x＞0），令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f（x）=x2g（x）=2x﹣ax2lnx，定义域是（0，+∞），f′（x）=2﹣a（x+2xlnx），若a=0，则f′（x）=2≠0，不存在极值点，故a≠0，令h（x）=f′（x）=2﹣a（x+2xlnx），h′（x）=﹣a（3+2lnx），x∈（，e）时，3+2lnx＞0，故h′（x）＞0恒成立或h′（x）＜0恒成立，∴f′（x）在（，e）是单调函数，∵f（x）在区间（，e）内有且只有1个极值点，∴f′（x）在（，e）有唯一解，由零点存在定理，得：f′（）?f′（e）＜0，得（2+a）（2﹣3ea）＜0，解得：a＜﹣2e或a＞，综上，a＜﹣2e或a＞．19.（本小题满分12分）如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,底面ABC⊥侧面AA1B1B,为CC1的中点,.(1)证明：AB1⊥平面A1OP.(2)若M是棱AC上一点,且满足,求二面角的余弦值.参考答案：解：(1)取的中点，连接，易证为平行四边形，从而.由底面侧面，底面侧面，，底面，所以侧面，即侧面，又侧面，所以，又侧面为菱形，所以，从而平面，因为平面，所以.(2)由(1)知，，，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，，，，，，得.设，得，所以，所以.而.所以，解得.所以，，.设平面的法向量，由得，取.而侧面的一个法向量.设二面角的大小为.则

20.已知点是函数的图象上一点，等比数列的前项和为数列的首项为，且前项和满足（1）数列，的通项公式；（2）若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？参考答案：解析：（1）又为等比数列，公比-------4分

又，数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，----------------------------------------------------------8分（2）

=-----------------------------------------------------10分由，得，所以的最小正整数是112.--------12分21.(本小题满分12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．参考答案：(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意，得P(X＝60)＝＝.即顾客所获的奖励额为60元的概率为，(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，即X的分布列为

X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为

X2406080PX2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×