安徽省亳州市二完中2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（A卷）（Word版含答案）

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数学试题A卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知为虚数单位，复数满足，则()

A.B.C.D.

2．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（）

A．10B．C．D．2

3．已知向量，，若，则（）

A．B．C．D．

4．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

5.已知角为第一象限角，且，则的取值范围是()

A.B.C.D.

6．在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（）

A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

7.若，，且，，则（）

A．B．C．D．

8.点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针作匀速圆周运动，起点为圆与轴正半轴的交点，点为与圆的交点，点运动到点，使得点在第二象限，则点的坐标为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知复数，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）

A．为实数B．若，则

C．D．若，则的最小值为

10．在正方体中，为的中点，直线交平面于点，下列结论正确的是（）

A．平面B．直线与直线所成角为

C．，，三点共线D．

11．关于函数，下列结论正确的是（）

A．函数的最大值是

B．函数在上单调递增

C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到

D．若方程在区间有两个实根，则

12．如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条直径，为底面圆的圆心，设，则（）

A．过的圆锥的截面中，的面积最大

B．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为

C．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为

D．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13已知向量满足，则

14.已知的内角的对边分别为，，，若，，的面积为，则的周长为.

15.九章算术中将正四棱台体棱台的上下底面均为正方形称为方亭如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为．

16.已知函数的部分图象如图所示，且点，，若，，且，则

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分已知函数．

若0，求的取值集合

若函数的图像向右平移个单位，再把得到图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长倍得到函数的图像，求函数的单调递增区间．

18.本小题分在中，角、、的对边分别为、、，已知，，且．的平分线交于点．

求角（2）求线段AE的长

19．本小题分在中，角的对边分别为．

(1)求的大小；

(2)若为锐角，求的取值范围．

20.本小题分如图，在多面体中，平面平面，四边形为菱形，，底面为直角梯形，，，．

证明：若，求多面体的体积。

21.本小题分如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.

(1)求证：平面；(2)求证：平面；

(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.

22.本小题分

我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记已知，分别为向量的@未来坐标．

证明：

若向量的“@未来坐标”分别为，，已知,,求函数的最值．亳州市二完中2022-2023学年高一下学期期末考试

数学试题A卷答案

单选题

1【答案】A

解：，则，

2．D

【详解】设与的夹角为，

则，

所以在上的投影向量为，

所以在上的投影向量的长度为，故选:D.

3．B

【分析】根据向量共线的坐标表示可求得，再根据二倍角正切公式，即可得答案.

【详解】由题意向量，，，

则，

故，故选：B

4．D

5【答案】C

解：角为第一象限角，，，

则，，又，

，

的取值范围是，故选：．

6．D

【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案.

【详解】解：根据正弦定理边角互化得，

所以，

所以，

所以，即，

所以或，

所以或，即的形状是等腰或直角三角形.

故选：D

7【答案】A

【解答】

解：

符号相同，

又

由可得，

又，，

，

，

由，得，

，故选A．

8.【答案】B

【解答】

解：，且，

，．

多选题

9．ACD

【分析】设，计算可判断A；用特值法可判断B；设，计算可判断C；由，设，得出的表达式并化简，利用三角函数性质求得最小值，即可判断D.

【详解】选项A：设，，，故A正确；

选项B：设，，但是，故B错误；

选项C：设，则

，

，，

所以，故C正确；

选项D：若，设，则，

则，

所以当时，取最小值，故D正确.

故选：ACD．

BC11.BCD

12．BD

【分析】对于选项A，利用斜三角形面积公式即可判断；对于选项B，由于圆锥侧面的展开图为扇形，可利用扇形圆心角公式进行计算；对于选项C，由于圆锥侧面的展开图为扇形，利用两点之间直线最短即可知，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长；对于选项D，由三棱锥外接球的性质可知，此外接球的直径为外接长方体的体对角线.

【详解】对于选项A：设点是底面圆上异于点的任意一点，则，.且.

当时，，此时的面积最大；

当时，若，则，此时的面积不是最大；

故选项A错误.

对于选项B：当时，，即.

圆锥侧面的展开图的圆心角为.

故选项B正确.

对于选项C：如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长.

当时，，即.

圆锥侧面的展开图的圆心角为，

此时的弦长为，

故选项C错误.

对于选项D：当时，，即.

当时，.

因为，

所以三棱锥的外接球的半径为，

则三棱锥的外接球的表面积为.

故选项D正确.

故选：BD.

填空题

4

15【答案】

本题考查棱台的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．

【解答】

解：由题意得，设，则，．

过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、，

在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，

所以，，则，

因为，，，

所以，所以，

在中，由勾股定理得，

所以等腰梯形的面积为，所以．

所以，，方亭的高，

故方亭的体积为．

故答案为：．

16解：由图象可得，，

解得，

，

，

，

点在轴的非负半轴上，

，，

又，且，

，

，

，

四、解答题

17【答案】解：

，（或由积化和差公式可得）

由，得x取值集合为

由题意可知，函数的图像向右平移个单位，

得到．

把得到图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到倍，得到函数，

，，解得，，

所以的单调递增区间为．

18【答案】解，，

，

，

，．

，，

．

．

19【答案】解：由

B.

又，A.

，则，又或．

角是锐角，由得，．

，，，

的取值范围是

20【答案】证明：如图，连接．

四边形为菱形，．

平面平面，平面平面，，平面，

平面，

又平面，．

，平面，，

平面．

平面，

．

如图，过作，交于点，

过作，交延长线于点，连接，，

平面，

又平面，，

，平面，，

平面，

，

，

，

多面体的体积为

21【分析】（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证.

（2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和得到，再利用线面垂直的判定即可证.

（3）当点为的中点，设的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂直的判定即可证.

【详解】（1）连接与，两线交于点，连接，

在中，分别为，的中点，

所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）因为底面，平面，所以.

又为棱的中点，，所以.

因为，，平面，

所以