反比例函数反比例函数的综合应用课件沪科版数学九年级上册

沪科版九年级上册数学反比例函数的综合应用探究反比函数的找规律问题有关循环规律的探索求数列：1，－2，－3，1，－2，－3，……第2020项是几？∵数列按照：1，－2，－3三个数一个周期排列；解2020÷3＝673……1∴第2020项为第674个周期的第一个数为：1确定周期数列中第n项的方法：①找准周期；②取n除以周期长度的余数；③余几就是周期的第几个数．求出B点坐标分析确定点A、C、D坐标找周期确定最终位置如图，正方形ABCD的对称轴为坐标轴，反比例函数y＝

经过正方形的两个顶点，一个粒子从点A开始，沿着A→B→C→D方向以2个单位每秒的速度循环运动，探索第2020秒时是否落在反比例函数上．例OxyABCD解答因为点B在反比例函数y＝

上，设B（b，b），b×b＝4，b＝2，根据正方形关于坐标轴对称可知：A（2，－2），C（－2，2），D（－2，－2），第1秒，粒子运动到点：(2，0)；第2秒，粒子运动到点：(2，2)第3秒，粒子运动到点：(0，2)；第4秒，粒子运动到点：(－2，2)第5秒，粒子运动到点：(－2，0)；第6秒，粒子运动到点：(－2，－2)第7秒，粒子运动到点：(0，－2)；第8秒，粒子运动到点：(2，－2)B（2，2）（2，2）（2，－2）（-2，2）（-2，-2）如图，正方形ABCD的对称轴为坐标轴，反比例函数y＝

经过正方形的两个顶点，一个粒子从点A开始，沿着A→B→C→D方向以2个单位每秒的速度循环运动，探索第2020秒时是否落在反比例函数上．例OxyABCD（2，－2）（2，2）（-2，2）（-2，-2）解答第9秒，粒子运动到点：(2，0)粒子的运动周期为8秒2020÷8＝252……4，所以第2020秒运动到点C的位置(－2，2)，不在反比例函数y＝

的图象上．利用反比函数图象上的点的特征求出题中点的坐标，解决点的循环规律，要先通过计算出前几步操作的点坐标，然后找出内在规律，再利用商和余数求出点在第几个周期，第几个位置．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝－x－1，双曲线y＝

，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…．记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2＝________，a2020＝_______．例解答yxOlA1B1A2B2A3∵点A1的横坐标为2，且在一次函数y＝－x－1上又∵A1B1垂直x轴，∴点A1的坐标为（2，-3）∴点B1的横坐标为2∵点B1在反比例函数y＝上∴点B1的坐标为寻找点的变化规律分析（2，-3）根据一次函数与反比例函数解析式求出前几个点的坐标如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝－x－1，双曲线y＝

，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…．记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2＝________，a2020＝_______．例解答2yxOlA1B1A2B2A3（2，-3）至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵2020＝3×673＋1；∴a2020＝a1＝2；∵2020＝3×673＋1；∴a2020＝a1＝2；对于循环规律类型，要多求出几种特殊情况从而发现循环规律并确定周期，再利用商和余数求出点在第几个周期，第几个位置．有关递进规律的探索数列：1，

，

，2，

…的第2020项是几？……第1个数为：1＝第2个数为：第3个数为：第4个数为：2＝第5个数为：第n个数为：第2020个数为：等差型：等比型：其它型：2，4，6，8……1，3，9，27……1，

，

，2，……解题方法：先将数列的形式统一，然后注意前一项和后一项在数字部分上的差别，注意数和形的特征，找出递进规律.如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…，过A1，A2，A3，A4，A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y＝

的图象交于点P1，P2，P3，P4，P5…并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1，S2，S3…Sn，按此作法进行下去，则Sn的值为___（n为正整数）例OxyA1A2A3A4A5P1P2P3P4P5分析观察面积变化规律找到递推公式解答因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…以此类推，本题为反比函数比例系数k求面积的典型例题，其中抓住面积不变，以及求三角形面积时，当高不变，底缩小到原来的几分之几，面积也缩小到原来的几分之几．如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），c，点Pn（xn，yn）在函数y＝

（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An－1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），y1＋y2＋…＋yn＝________（用含n的式子表示）．例分析寻找点P1、P2、P3……Pn横纵坐标之间的变化规律分别过点P1、P2

…Pn作x轴垂线解答如图，过点P1作P1M⊥x轴OyxA1A2A3P1P2P3M∵△OP1A1是等腰直角三角形，N∴P1M＝OM＝MA1设P1的坐标是（a，a），∴A1的坐标是（6，0）.把（a，a）代入解析式y＝

（x＞0）中，得a＝3，（6，0）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数y＝

（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An－1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），y1＋y2＋…＋yn＝________（用含n的式子表示）．例解答又∵△P2A1A2是等腰直角三角形，OyxA1A2A3P1P2P3M设P2的纵坐标是b，则P2的横坐标是6＋b，N把（6＋b，b）代入函数解析式得b＝，解得b＝

－3，∴A2的横坐标是6＋2b＝6＋

－6＝

，（6，0）

如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数y＝

（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn－1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An－1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），y1＋y2＋…＋yn＝________（用含n的式子表示）．例解答OyxA1A2A3P1P2P3MN根据等腰三角形的性质得到：y1＋y2＋…＋yn等于An点横坐标的一半，故答案为：同理可以得到A3的横坐标是

，An的横坐标是∴y1＋y2＋…＋yn＝本题考查了反比例函数的综合应用，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律.（6，0）

反比例函数在跨学科中的应用行程类路程＝速度×时间在路程不变的情况下，速度与时间成反比工程类工作总量＝工作效率×工作时间工作量一定时，工作效率与工作时间成反比销售类总价＝单价×数量总价一定时，单价和数量成反比物理使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？

Q化学气体的压强P（Pa）气体的体积V(m³)×＝k（k为常数，k>0）PV＝k（k为常数，k＞0）反比例函数如果用力踩气球，气球的体积会变小，压强会变大．当压强大到一定程度时，气球便会爆炸.在化学的试验中，溶质质量＝溶液质量×浓度，在溶质质量不变的情况下，加的水越多，浓度越低，这也能解释，为什么在杯子里放入同等质量的糖，加的水越多，越不甜的道理．例一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2m3时求氧气的密度ρ．分析将V和ρ的数值代入设解答当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3，即m＝，（1）设ρ＝

，所以1.43＝

，所以ρ与V的函数关系式是ρ＝

；求m值例一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2m3时求氧气的密度ρ．解答（2）当V＝2m3时，所以当V＝2m3时