内蒙古自治区呼和浩特市第三中学高三数学理联考试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市第三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。给出下列函数①；②；③；④

其中“互为生成函数”的是（

）A．①②

B．①③

C．③④

D．②④参考答案：B2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式．根据判断，下列近似公式中最精确的一个是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B

4.下列四个图中，可能是函数的图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】利用换元法，通过函数的奇偶性判断函数的图象．【解答】解：令t=x+1，是函数化为：y=，可知函数是奇函数，原函数关于（﹣1，0）对称，排除A，D，当x→+∞时，函数y＞0，排除B．故选：C．5.已知函数

若互不相等，且，则的取值范围为（

）A、（）B、（）C、（）D、（）参考答案：B略6.已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选C．【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．7.复数（i为虚数单位）的模等于A．

B．2

C．

D．参考答案：A略8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDC1的法向量=（1，-1，1），从而平面BDC1的方程为x-y+z=0，进而过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程为（x-1）=-y=z，推导出过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程与平面BDC1的交点为，得到点A关于平面BDC1对称点M，由此能求出M到平面A1B1C1D1的距离．【详解】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），=（1，1，0），=（0，1，1），设平面BDC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，1），∴平面BDC1的方程为x-y+z=0，过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程为：（x-1）=-y=z，令（x-1）=-y=z=t，得x=t+1，y=-t，z=t，代入平面方程x-y+z=0，得t+1+t+t=0，解得t=，∴过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程与平面BDC1的交点为∴点A关于平面BDC1对称点M，，平面A1B1C1D1的法向量=（0，0，1），∴M到平面A1B1C1D1的距离为d=故选：D．【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查平面方程、中点坐标公式、点到平面的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。选D。10.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则mn的值为．参考答案：﹣20【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，2﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，然后利用根与系数的关系求得m，n的值得答案．【解答】解：∵2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，∴由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，2﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则﹣m=（2+i）+（2﹣i）=4，m=﹣4，n=（2+i）（2﹣i）=5．∴mn=﹣40．故答案为：﹣20．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查了实系数一元二次方程虚根成对原理，是基础题．12.与直线相切，且与圆相内切的半径最小的圆的方程是

参考答案：略13.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设则的最小值为

．参考答案：略14.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为

．参考答案：15.记等差数列{an}的前n项和Sn，利用倒序求和的方法得：Sn=；类似的，记等比数列{bn}的前n项的积为Tn，且bn＞0（n∈N+），试类比等差数列求和的方法，可将Tn表示成首项b1，末项bn与项数n的一个关系式，即公式Tn=．参考答案：

【考点】进行简单的合情推理；等比数列；等比数列的前n项和；类比推理．【分析】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．【解答】解：在等差数列{an}的前n项和为Sn=，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn=（b1bn）故答案为：．16.若动直线与函数和的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为

．参考答案：

17.直线与圆交于A，B两点，则|AB|=

．参考答案：3根据题意，圆的圆心为，半径为，则圆心到直线点距离为，则.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．参考答案：（1）因为，，，所以，且．

……3分

因为，所以，即a2??2ab??b2??1，

所以，即．

……6分

（2）因为，所以．

依题意，．

……8分因为，所以．

化简得，，所以．

……12分

因为，所以．

所以，即．

……14分19.（本题满分12分）已知：在直角坐标系中，曲线Ｃ的参数方程为：为参数），以原点Ｏ为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线Ｃ的极坐标方程．参考答案：由，得，两式相除，得代入得，20.已知函数的图象在点处的切线方程为.

(Ⅰ)求的值及的单调区间(Ⅱ)是否存在实数，使得射线与曲线有三个公共点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由(Ⅲ)设，为正实数，且，证明：参考答案：（Ⅰ）a=1,的递增区间为；递减区间为.（Ⅱ），存在实数k使得射线y=kx()与曲线有三个交点，且k的取值范围是.(Ⅲ)证明：见解析.【知识点】导数的几何意义，导数的应用.

B12解析：（Ⅰ）因为，所以因为曲线在点处切线方程为y=-x,所以，即.

于是.由，即，解得或；由，即，解得所以的递增区间为；递减区间为.（Ⅱ）由，消去y得，即x=0或.要使射线y=kx()与曲线有三个交点，只要方程，即有两个大于或等于-3且不等于0的不等实根.1

当k=0时，可化为-x+1=0,解得x=1,不符合要求；2

当k≠0时，令.由，即，即解得且.综上，存在实数k使得射线y=kx()与曲线有三个交点，且k的取值范围是.(Ⅲ)证明：因为，，所以，.所以曲线在点处的切线方程为.当0<x<1时，故.因为，且，所以n.

所以所以即故.【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求a值，然后把a值代入原函数，利用导数求得单调区间；（II）把问题转化为一元二次方程的实根分布情况求解；(Ⅲ)因为，，所以，.所以曲线在点处的切线方程为.当0<x<1时，这说明在区间（0,1）上，曲线在切线的上方，由已知得：n.所以再由累加法得所证结论.

21.数列是递增的等差数列，它的前项和为，其中，且,,成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.参考答案：（1）又成等比数列`,（2）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.（1）当时，求与的交点的极坐标；（2）直线与曲线交于，两点，且两点对应