应用数学上册课题四课件

在日常生活中，我们经常遇到诸如平移、对称、旋转、镜像、投影等几何图形的变换问题．在许多专业课的学习中，也经常要遇到图形的变换问题．掌握几何图形的变换对专业学习和生活实践是很有好处的．对于以前接触过一些几何图形变换的知识，本课题将进一步学习、理解它们的概念、性质以及作图方法，使之为专业学习、生活实践打下良好的基础．学习指南平移变换4．1平移的概念平移变换的性质观察现实生活中的一些实例，例如，生产线上易拉罐的运动，如图4-6所示；大门口铁门的移动以及铁门上的图案，如图4-7所示；奥运五环的形成，如图4-8所示；窗户的移动，如图4-9所示．图4-6图4-7图4-8图4-9以上图形都是由某种（或某些）“基本图形”平行移动产生的，数学上称为平移．初中已学习过有关平移的知识，本节将对平移进行简要回顾，并运用平移的知识来分析处理一些问题．平面内一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．注

要注意平移变换的两个要素——移动的方向和距离．如图4-10所示，△

ABC向右平移的距离为线段MN的长后得到△DEF．

4.1.1平移的概念图4-10

4.1.2平移变换的性质如图4-10所示，△

ABC向右平移的距离为线段MN的长后得到△DEF．（1）平移前后的图形全等，即平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等．如图4-11所示，△ABC向右平移一定距离后到△A′B′C′的位置，则AA′∥BB′，且

，BB′与CC′共线，且．图4-11轴对称变换4.24.2.1轴反射4.2.2轴对称4.2.3轴对称图形

轴反射1．概念图形沿着直线l翻折并将图形“复印”下来，得到的图形叫做该图形关于直线l的轴反射，原图形叫做原像，反射后的图形叫做原图形在这个轴反射下的像．例如，如图4-16所示，图形（a）沿直线l翻折并将图形“复印”下来得到图形（b），即该图形关于直线l做了轴反射，图形（a）为原像，图形（b）为图形（a）在这个轴反射下的像．2．轴反射的性质轴反射不改变图形的形状与大小．图4-16(a)(b)1．轴对称的概念在一个平面内，一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称；这条直线叫做对称轴；两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点．或者这样说，如果一个图形关于某一条直线作轴反射，能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称；这条直线叫做对称轴；相互重合的两个点，其中一点叫做另一个点关于这条直线的对称点．

轴对称2．轴对称的性质①关于某条直线对称的两个图形全等；②对称点的连线段被对称轴垂直平分；③如果对应线段所在的直线相交，则交点在对称轴上．如图4-17所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则l是对称轴；A，B，C关于直线l的对称点分别是A′，B′，C′．图4-16案例

观察图4-18至图4-21，分析它们有何特点？

轴对称图形图4-19图4-18图4-21图4-201．定义如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，则这样的图形叫做轴对称图形，也称这个图形关于这条直线对称；这条直线叫做对称轴，如图4-22所示．图4-22注

线段有两条对称轴：一条是这条线段所在的直线，另一条是这条线段的中垂线．线段垂直平分线的性质如果直线l是线段AA′的垂直平分线，则点A和A′关于直线l对称；反之，如果点A和A′关于直线l对称，则直线l是线段AA′的垂直平分线，如图4-23所示．图4-232．对称图形的作图方法（1）找出所给图形的关键点；（2）找出图形关键点到对称轴的距离；（3）找关键点的对称点；（4）按照所给图形的顺序连接各点．如图4-24所示，ABB′A′是一个等腰梯形，l是对称轴，A与A′，B与B′是对称点．3．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别与联系如表4-1所示．区别联系轴对称轴对称是指两个图形的对称关系

把轴对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为轴对称图形；把轴对称图形互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成轴对称关系轴对称图形轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形图4-24例1

如图4-25所示，要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A，B两村送水，请问水泵站应修在何处，所用管道才能最短？解

设水泵站修在C点，此题的实质是求折线的最短长度．如图4-25所示，可作出A点关于直线l的对称点A′，根据对称性可得

所以连接BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，即此时折线的长度等于线段A′B的长．根据两点之间线段最短可确定点C是水泵站的位置．图4-25例2如图4-26所示，已知四边形ABCD，作出四边形ABCD关于直线EF对称的图形．解

（1）如图4-27所示，过点A作EF的垂线，垂足为M，连接AM并延长到A′，使

；（2）用同样方法作出点B，C，D的对称点B′，C′，D′；（3）连结A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四边形A′B′C′D′即为所求．图4-26图4-27旋转变换4.34.3.1旋转变换的概念4.3.2形旋转变换的性质4.3.3旋转变换图形4.3.4中心对称4.3.5中心对称图形图4-32图4-33案例

现实生活中许许多多的图形是由一些基本图形经过旋转后得到的，如图4-32、图4-33所示的两个图案都是由一个“基本图形”经过旋转形成的．本节将进一步学习图形的旋转变换，并利用旋转变换的知识分析、解决一些相关问题．4.3.1旋转变换的概念在平面内，一个图形绕一个定点O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫做旋转中心，转动的角

叫做旋转角．注意

旋转变换的三要素——旋转中心，旋转方向，旋转角．或者说，一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内的一个定点旋转同一个角

（即F上每一点与定点的连线绕定点旋转角

），得到图形F′，图形的这种变换就叫做旋转．这个定点叫做旋转中心，角

叫做旋转角．原位置的图形F叫做原像，新位置的图形F′叫做图形F在旋转下的像，图形F上的每一个点P与它在旋转下的像点P′叫做在旋转下的对应点．如图4-34所示，△ABC绕点O按顺时针方向旋转75°得到△A′B′C′，则△A′B′C′是在这个旋转下的像；△ABC为原像；O为旋转中心；A与A′，B与B′，C与C′是在这个旋转下的对应点．图4-344.3.2旋转变换的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角．结论

旋转不改变图形的形状和大小．例1如图4-35所示，已知四边形ABCD，画出四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°的图形．解

如图4-36所示，点A绕点B旋转90°后为A′；点C绕点B旋转90°后为C′；点D绕点B旋转90°后为D′；B点不动．连接A′B，BC′，C′D′，D′A′，四边形A′BC′D′即为所求．图4-35图4-36例2当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图4-37（a）所示是某汽车上的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），经过测量知

，

，

．当杆AB绕点A旋转90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？(a)(b)图4-37解

如图4-37（b）所示，由题意可知，将△AD′C′绕点A逆时针旋转90°，与△ADC重合，即

同理可得进而

所以所求面积等于大扇形ACC′的面积减去小扇形AEE′的面积，即

故雨刷CD扫过的面积是0.942m2.

4.3.3旋转对称图形一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形．这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（

旋转角

）.常见的旋转对称图形有线段、平行四边形、正多边形、圆等．例3如图4-38所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过4次旋转而得到，每一次旋转72°．图4-381．概念一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个定点对称，或称为中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．

4.3.4中心对称因为中心对称是一种特殊的旋转，所以它不仅具有旋转的一切性质，而且还具有自己特殊的性质，其独有性质如下：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点连线的中点；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）．2．中心对称的性质如图4-39所示，若△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则对称中心O是线段AA′，BB′，CC′共同的中点，AB∥A′B′且

，BC∥B′C′且

，AC∥A′C′且

；反过来，若线段AA′，BB′，CC′都经过点O，且O是它们的中点，那么△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称．图4-393．中心对称的作图步骤以图4-39为例，作△ABC关于点O的对称图形．（1）找出能确定原图形关键点，如顶点A，B，C．（2）分别作出原图形关键点的对称点．如连结AO，并在AO的延长线上截取

，则点A′为点A关于点O的对称点．同理可作出点B′、点C′．（3）按原图形的连接方式顺次连结各关键点的对应点，即点A′，B′，C′，所得的图形△A′B′C′即为求作的对称图形．1．概念

4.3.5中心对称图形一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个定点叫做该图形的对称中心．例如，如图4-40所示，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；再如，线段、矩形、菱形、圆等都是中心对称图形．注

中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于180°）.图4-392．性质（1）中心对称图形上，每一对对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；（2）中心对称图形的重心在其对称中心，且过对称中心的直线平分该图形的面积．注

所有的中心对称图形，都是旋转对称图形．图4-42图4-41图4-43思考

如图4-41至图4-43所示汽车标志中，哪些是中心对称图形？3．对中心对称图形的进一步分析在平面内，如图4-44（a）所示，把点E绕点O旋转180°得到点F，此时称点E和点F关于点O对称，也称点E和点F是在这个旋转下的一对对应点．由于点E，O，F在同一条直线上，且

，因此，点O是线段EF的中点；反之，如果点O是线段EF的中点，那么点E和点F关于点O对称．如图4-44（b）所示，该图形是中心对称图形，它的对称中心是O，设E，F是该图形上的一对对应点，则点O是线段EF的中点．(a)(b)图4-444．中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称与中心对称图形的区别与联系如表4-2所示．区别联系中心对称

中心对称是指两个图形的对称关系

把中心对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称它为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成中心对称中心对称图形

中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形思考

怎样辨别轴对称图形和中心对称图形？例4常见的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线、线段、矩形、菱形、正方形、圆等；只是轴对称图形的有射线、角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等；只是中心对称图形的有平行四边形等；既不是轴对称图形又不是中心对称图形的有不等边三角形、非等腰梯形等．例5如图4-45至4-48所示图形既是轴对称图形又是中心对称图形．图4-45图4-47图4-46图4-48例6如图4-49所示，下列选项中关于对称性的表述正确的是（）。A．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形答案

选B．例7如图4-50所示，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（

）。A．30° B．60° C．90° D．120°答案

选C．图4-49图4-50例8如图4-51所示，左边的图案通过怎样的变换才能与右边的图案重合？如图4-52所示，该图是由3个正三角形拼成的图形，它可以看做是由其中1个正三角形经过怎样的变换而得到的？图4-51图4-52解

图4-51所示的图案是将左边的图案经过顺时针旋转90°，再向右平移得到右边的图案．图4-52所示的图形是△ABC绕点C依次旋转60°得到的．例9请用学过的知识分别将图4-53所示的3个图形面积分成相等的两部分．(a)(b)图4-53(c)解

如图4-54所示，利用轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分，分别找出图形的对称轴与对称中心即可得出答案．(a)(b)图4-54(c)例10如图4-55所示，已知矩形ABCD和矩形AB′C′D′关于点A对称。试判断四边形BDB′D′的形状，并说明理由．图4-55解

四边形BDB′D′为菱形．理由如下：因为矩形ABCD和矩形AB′C′D′关于点A对称，所以，

，因此四边形BDB′D′为平行四边形．又因为BB′⊥DD′，所以四边形BDB′D′为菱形．相似变换与位似变换4.44.4.1相似变换4.4.2位似变换与位似图形4.4.3位似图形与相似图形的关系案例

观察图4-62至图4-64所示图形，分析它们的形状、位置有什么特点？分析

如图4-62和图4-64所示，它们的形状一样，但大小不一样，而且对应点的连线交于一点；如图4-63所示，它们的形状一样，但大小不一样，而且没有对应点的连线交于一点的特性。在数学上，这是有关相似与位似的问题。本节将学习相似变换和位似变换的有关知识。图4-62图4-63图4-64

相似变换1．相似变换与相似图形的概念由一图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。原图形和经过相似变换后的像，叫做相似图形。例如，图形的放大和缩小都是相似变换。3．相似比2．相似变换的性质相似变换中对应线段扩大（或缩小）的倍数叫做相似比．（1）相似变换不改变图形中每一个角的大小；（2）相似变换后，图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．例1把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的．案例中的图4-63是两个相似的图形．4.4.2位似变换与位似图形1．概念取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP与OP′的比等于常数

，点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换。点O叫做位似中心，常数k叫做位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形。也可以这样说，如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。如图4-65所示，△ABC与△A′B′C′是两个位似图形．注

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小．当位似比时，一个图形被放大成原图形的k倍；当位似比

时，一个图形被缩小成原图形的k倍。图4-65例2

案例中图4-62和图4-64所示的图形是位似图形．又如，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形是典型的位似图形．（1）位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比（或位似比）．（2）位似图形对应线段的比等于相似比；（3）位似图形的对应角都相等；（4）位似图形对应点连线的交点是位似中心；（5）位似图形面积的比等于相似比的平方；（6）位似图形高、周长的比都等于相似比．2．性质位似图形是特殊的相似图形，其相似比又叫做位似比；但相似图形不一定是位似图形，只有当两个相似图形的对应点所在的直线都经过同一点时，这样两个图形才是位似图形．一个图形经过位似变换和平移、旋转，最后得到的图形与原图形相似．4.4.3位似图形与相似图形的关系例3如图4-66所示，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′．已知

，

，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是多少？图4-66解

因为位似比

所以，五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是2︰3．投影4.54.5.1投影的概念4.5.2平行投影4.5.3中心投影案例

物体在太阳光线照射下，会在地面上留下影子；电影放映机可把拷在胶片上的图像放映到银幕上；幻灯机把幻灯片上的图像放映到银幕上；航空摄影时把地面上的景物摄到底片上等．在数学中，以上实例都叫做投影．

投影的概念用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．或者说，投射线通过物体，向选定的面投射，在该面上得到的图形叫做原物体在这个面上的投影．对投影有关概念的直观描述如图4-69所示．本节主要介绍平行投影和中心投影．图4-691．概念

平行投影物体在太阳光线照射下，会在地面上留下影子．由于太阳光线可以看成平行光线，因此这种投影称为平行投影．平行投影的定义如下：定义1在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．注

平行投影会改变物体的形状和大小．2．分类在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，也就是说，投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影，如图4-70所示；否则叫做斜投影，如图4-71所示．图4-70图4-71（1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段；（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线；（3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；（4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；（5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3．平行投影的基本性质图4-721．概念

中心投影电影放映机把拷贝胶片上的图像放映到银幕上；幻灯机把幻灯片上的图像放映到银幕上；航空摄影时把地面上的景物摄到底片上．对于这些投影，它们的光线都可以看成是从一点发出的，