高考数学总复习命题充分条件与必要条件理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第1章§1.2命题、充分条件与必要条件理-A3演示文稿设计与制作§1.2命题、充分条件与必要条件

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§1.2命题、充分条件与必要条件双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．命题可以判断____，用__________表述的语句叫作命题，其中________的语句叫作真命题，________的语句叫作假命题．真假文字或符号判断为真判断为假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有____的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_________________相同不一定相同．思考感悟1．根据四种命题的关系判断原命题的逆命题和否命题的真假关系如何？提示：原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，它们有相同的真假．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则______的充分条件，______的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则______的充要条件，q也是p的____________p是qq是pp是q充要条件．思考感悟2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？提示：因为“若p，则q”的逆命题“若q，则p”为真，所以q⇒p.即p是q的必要条件，又因为“若p，则q”的逆否命题“若﹁q，则﹁p”为假，即“若p，则q”为假，所以pDq，故p不是q的充分条件，所以p是q的必要不充分条件．答案：D课前热身2．(2010年高考天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案：B3．(2011年亳州联考)“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：B4．(2011年铜川质检)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．答案：若x≤y，则x2≤y2答案：①②考点探究•挑战高考考点突破考点一命题的关系及其真假的判断本考点主要包括命题的概念，四种命题及其真假的判断，判断一个语句是不是命题，要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件；判断命题的真假关键是要分清命题的条件与结论，然后直接判断，如果不易直接判断的，可根据互为逆否命题的等价关系来判断． “已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，求证：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．”是否是命题？若是回答下列问题，若不是改写为命题后回答下列问题．(1)写出否命题，判定真假，并证明你的结论；(2)写出逆命题，判定真假，并证明你的结论．【思路点拨】能够判断真假的陈述句是命题，题目所给的是祈使句，改写为命题后，把原命题的条件和结论都加以否定则为否命题，条件和结论互换得逆命题．例1【解】祈使句，不是命题．命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．否命题是真命题．证明：∵a＋b＜0，∴a＜－b或b＜－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f(a)＞f(－b)或f(b)＞f(－a)，∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＞f(－b)＋f(－a)，则a＋b＜0.逆否命题为真命题．证明：(用反证法)假设a＋b≥0，则a≥－b或b≥－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．所以f(a)≤f(－b)或f(b)≤f(－a)，同向不等式相加得f(a)＋f(b)≤f(－b)＋f(－a)，与f(a)＋f(b)＞f(－b)＋f(－a)相矛盾．∴a＋b＜0.【易错警示】本题在写否命题时易出现“已知…不是减函数，…”这种否定大前提的错误，致错的原因在于没有弄清四种命题之间的关系．考点二充分条件与必要条件的判定处理此类问题一般有两种方法：一是利用定义判断；二是利用集合的包含关系判断．例2【思路点拨】分清命题的条件和结论，分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者或用集合的包含关系求解．【反思感悟】

(1)注意两种说法“p是q的必要而不充分条件”与“q的必要而不充分条件是p”是等价的．(2)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．互动探究1

若例2其它条件不变，q是p的什么条件？解：(1)q是p的必要不充分条件．(2)q是p的充分不必要条件．(3)q是p的充要条件．考点三充要条件的应用涉及参数的问题解决起来较为困难时，注意等价转化，转化后就显得好理解了．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题，常常借助集合的观点来考虑．

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．【思路点拨】从集合的观点来看，x∈P是x∈S的充要条件，即P＝S.x∈P是x∈S的必要条件，即PS，由此列出关于m的不等式(组)可求出m的范围．例3【规律方法】

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)记p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.﹁﹁方法技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．(如例1)2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真的．(如课前热身5)方法感悟3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．(如例2(3))(2)等价法：即利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B；A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(如例3变式)(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．(如例3)失误防范1．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只要否定命题p的结论即可．如命题p：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b.命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b.2．B的充分条件是A，是指A⇒B，A的充分条件是B，是指B⇒A，A的充要条件是B，充分性是指B⇒A，必要性是A⇒B，此语句应抓“条件是B”．A是B的充要条件，此语句应抓“A是条件”．要注意A与B之间关系的方向性，不要混淆．从近两年的高考来看，命题的考查以基本概念为主，并且以命题为工具考查其他知识，有关“命题的真假”为必考内容，题型以选择、填空题为主，难度不大；充要条件是高考考查的热点，主要以各章知识点为载体来考查充分必要条件，题型以选择题为主，分值为5分，属中低档题．预测在2012年的高考中充要条件的判定、四种命题以及真假的判断仍为主要考点，重点考查学生的逻辑推理能力．考向瞭望•把脉高考考情分析 (2010年高考北京卷)a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件例真题透析【解析】

f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋xb2－xa2－a·b＝(a·b)x2＋x(b2－a2)－a·b.充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(b2－a2)x，若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数，若|a|＝|b|，则f(x)是常函数，∴充分性不成立．必要性：∵f(x)是一次函数，∴a·b＝0且b2－a2≠0，∴a⊥b且|b|≠|a|，∴必要性成立．故选B.【答案】

B【名师点评】

(1)本题易失误的是：①基础不牢，不知a⊥b⇔a·b＝0.②分不清条件、结论，以致充分性和必要性弄反．③不明了函数为一次函数的条件，以致忽略b2－a2≠0.(2)本题是平面向量与简易逻辑知识的交汇，体现了充要条件知识点与平面向量、函数等有关知识的联系，考查了学生的逻辑推理能力．名师预测2．命题“若a＜b，则a－1＜b－1”的逆否命题是(

)A．若a－1≥b－1，则a≥b

B．若a＞b，则a－1＞b－1C．若a－1＞b－1，则a＞b

D．若a≥b，则a－1≥b－1解析：选A.“若p，则q”的逆否命题为“若¬q，则¬p”，故选A.3．若a∈R，则a＝1是复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数的(

)A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件4．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结