力学大会2015集有限体积梯度重构方法讨论与改进

*，+，松*（大连理工大学工程力学系，辽宁大连+（大连理工大学航空航天学院，辽宁大连二空结计强优量证稳敛对结进针对进算性题限器法析果现各梯重方的点并了能改方法本还介种积结显该较流在流义。引格自适应，因此在CFD(ComputationalFluid法以及将各种方法统一在一个框架内的CPR(CorrectionProcedureviaontrution)方法等[1]上方法在非结构格的高阶精度(高于二阶精度)格式研结构网格上的高阶精度格式仍然存在计稳场变阶空间精度有限体积法仍然是工程问题FD模拟类方法也是本文讨论的对为简积为二阶空间精度的有限体积法。为了提高流场变量梯度重构在不同网格类型中或网格质量较差等情况下的计算精度或稳给出了多种计算方法或计诺数边界层流动激波流场自适应网格计算等条件下常见的大长宽比(各向异性)/扰动重构仍然具有性即使在无粘流动计算中梯度重构精度的下降也会导致对流项求还会出现计算发散[8]为针对导致流场变量梯度重构精度下降的几种典型情形进行讨论导致误绍了一种改进的梯度重构方法。本文第一节给出了有限体积法的基本空间导致精度下降的几种原因进讨论了可能的改进策略第三节介绍了一种基于格点最小二乘的格心型有限体积法梯度重构方法并指出其改进的依据第四节给出了文献方法与本文介绍的改进方法的算例其中包括给定函数分布的梯度重构计算与NA002翼型亚声速无粘绕流的计算结节总结了本文的得到的主要结论。 F(Q)ndS 式中是积是积分域边Fc是对Q是流动方程的守恒变n N(Q)i(Fc,knkSkk式中Sk为面元k的面积。面元k上的对流通量Fc,k可以通过

1[F(QL)F(QR)|A|(QRQL 2 i, i, i, i,i,式中的面元左、右侧变i,

、、i,

QLQϕQ(xxi, i, QRQϕQ(xxi, i, 式中Q为单元梯度，ϕ为限制器值[10]xij为单元i、j共享面元的面心坐标xi、xj为 (b)NA-GG方法模精度下降。为了解决这一问题，法是采用扩展单元模板，即选取与待求单元共点量。另法是先计算格点值(Node-离反比平均(Weighted-Averaging，WA)[14]一类的方法计算精度较低，而PL- (a)测试网 (b)格点值计算误图2NA方法误由于非结构网格上的网格尺度大小不一致因此通常采用距离以便在重构计中引入网格度的影响小二乘方法实施的距离对弯曲边界大长宽比网格上的重构计算精度有利[3]时也使计算稳[15]介绍了几何单调性的概念解释了梯度重构方法所导致的变量重构非单调极值问题其结果表明最小二乘方法无法保持单调该文给出单调性条件如下式：qijqiCijqijj

Cmaxmax(Cij) 献[15]，在一定的网格条件下，即使是均匀流场的变量重构仍然可能该单调性大长宽比非正交网格的最小二乘计对于最小二乘方法实施后单调性能的下降，下面以WLSQ(1)(Weighted图3受扰动模板单C分别为(x,C

(0,0)，(x,

(L,0)，(x,

(s,H)，(x,

L0)和(xCC

(0,HCC令LH，而Hs，则网格具有较大的长宽比。C2在x方向有一个小的扰动 ωq ATAXATB

CC

CCH2H2

与C2之间的变量变化将导致x方向梯度的显著变化，进而使单调性往往。而在到，矩阵(ATA)1AT决定了重构方法是否满足单调性。显然，距离对矩阵中各个元素信息相互影响是不可能的。而不进行，将导致远、近模板的作用无法区分，从而影权最小二乘计算过程可以看出，在进行后，距离较远的模板可以认为已经被消去，需要注意扩展模板将增加重构计算量，特别是三维非结构网格上计算量的增加更为明显。而在大长宽比网格上采用距离后，由于模板距离相差较大，远处的模板仍可能被消去考虑这两个问题下一节中介绍的依据格点最小二乘的梯度重构算法在计的变量分布进行展开，邻接单元i格心的变量分布可以描述为：QiQaQa(xixa

Q ω(xx ω(yy ωQ 1a Qa 1a

x

x) ( y

N(a N(a N(a N(a N(a aQa N(a)aN(a)y 1ωia 1

QiQaa

式中Nn为单元i的格点个数。对于四边形或六面体网格单元，格点数量与单元数量单 (b)规则三角形网 (c)随机三角形网图4测试1，分为21(横向)×101纵向)个格点，底部第一层网格高度为7.2572×10-在以上三种网格上进行变量梯度重构，格心变量给定为qy2，求其格心梯度。比较 (b)规则三角形网 (c)随机三角形网图5计算结GG在扰动三角形网格上出现第2节中提到的精度波动。本文介绍的基于格点的最算例可以用于无粘流动模拟的精度[15]。约为1000。模拟的来流数为0.3，迎角为0，LU- (b)对称三角形网 (c)非对称三角形网 (b)对称三角形网 (c)非对称三角形网图7NACA0012翼型绕流计算收敛曲表2网格类--- 由于非结构网格上重构计算的模板正交性天然，对流场重构的计算精度造成增加计算模板的方法虽然较为有效，但是计算量较大。各种基于单元的最小二乘方法存在由于导致的重构模板损失或信息失真，引起了所谓的几何单调性问题，本文介绍的一种基于格点的最小二乘梯度重构方法，称之为NWLSQ方法。该方法在最小二乘计算中保持了足够的模板单元数量，并且其系数不易存在量级的差异，在计算量与计算精度上的取得了较好的平衡。算例结果显示，采用距离反比本文的工作表明，尽管各向异性非结构网格上的流场重构存在较多的，但是通1，贺立新，，等.基于非结构/混合网格的高阶精度格式研究进展.力学进展HaselbacherA,BlazekJ.AccurateandefficientdiscretizationofNavier-Stokesequationsonmixedgrids.AIAAJournal,2000,38(11):2094-2102MavriplisDJ.Revisitingtheleast-squaresprocedureforgradientreconstructiononunstructuredmeshes.AIAAPaper2003-3986,2003BarthTJ,JespersenDC.Thedesignandapplicationofupwindschemesonunstructuredmeshes.AIAAPaper89-0366,DiskinB,ThomasJ.Accuracyofgradientreconstructionongridswithhighaspectratio.NIAReportNo.2008-12,DiskinB,ThomasJL,NielsenEJ,etal.Comparisonofnode-centeredandcell-centeredunstructuredfinite-volumediscretizations:viscousfluxes.AIAAJournal,2010,48(7):1326-1338DiskinB,ThomasJL.Comparisonofnode-centeredandcell-centeredunstructuredfinitevolumediscretizations:inviscidfluxes.AIAAJournal,2011,49(4):836-854KitamuraK,ShimaE.Simpleandparameter-secondslopelimiterforunstructuredgridaerodynamicsimulations.AIAAJournal,2012,50(6):1415-1426Roe,PL.ApproximateRiemannsolvers,parametervectors,anddifferenceschemes.JournalofComputationalPhysics,1981,43(2):357-372VenkatakrishnanV.ConvergencetosteadystatesolutionsoftheEulerequationsonunstructuredgridswithlimiters.JournalofComputationalPhysics,1995,118(1):120-130HolmesDG,ConnellSD.Solutionofthe2DNavier-Stokesequationsonunstructuredadaptivegrids.AIAAPaper89-1932,RauschRD,BatinaJT,YangHTY.SpatialadaptationofunstructuredmeshesforunsteadyaerodynamicflowAIAAJournal,1992,30(5):1243-FrinkNT.Recentprogresstowardathree-dimensionalunstructuredNavier-Stokessolver.AIAAPaper94-0061,FrinkNT,ParikhP,PirzadehS.AfastupwindsolverfortheEulerequationsonthree-dimensionalunstructuredmeshes.AIAAPaper91-0102,1992ShimaE,KitamuraK,HagaT.Hybridgradi