黑龙江省哈尔滨市黑龙江大学附属中学2022年高三数学文模拟试题含解析

黑龙江省哈尔滨市黑龙江大学附属中学2022年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.展开式中项的系数为（

）A．－19

B．19

C．20

D．－20参考答案：C：，它的展开式中项系数为＝1＋3＋6＋10＝20。2.设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，由余弦定理，可得，cos30==．则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b==a，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x，故选A．3.在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，则a5?a6的最大值等于（）A．3 B．6 C．9 D．36参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】利用a1+a2+…+a10=30，求出a5+a6=6，再利用基本不等式，求出a5?a6的最大值．【解答】解：由题设，a1+a2+a3+…+a10=5（a1+a10）=5（a5+a6）=30所以a5+a6=6，又因为等差数列{an}各项都为正数，所以a5a6≤=9，当且仅当a5=a6=3时等号成立，所以a5?a6的最大值等于9，故选C．4.将函数y=2sin(2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（A）y=2sin(2x+)

（B）y=2sin(2x+)

（C）y=2sin(2x–)

（D）y=2sin(2x–)参考答案：D试题分析：函数y=2sin(2x+)的周期为π，将函数y=2sin(2x+)的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x–).5.如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.9参考答案：D6.已知定义在R上的奇函数f(x)为增函数，且f(1)=2，f(－2)=－4，得，，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围为（

）A．t≤－1 B．t>－1 C．t≥3 D．t>3参考答案：D略7.直线截圆所得劣弧所对圆心角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.设直线x=k与函数

的图像分别交于点M,N,则当达到最小时k的值为

A．1

B．

C．

D．参考答案：D9.若复数是纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值为 （A） （B） （C） （D）参考答案：D略10.（原创）已知全集,集合,集合,则集合（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B,,则,故选B.【考点】集合的交集与补集运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标系中，抛物线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线经过抛物线的焦点，则常数

．参考答案：略12.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）参考答案：660【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．13.若n-m表示的区间长度，函数的值域的区间长度为，则实数a的值为_________________.参考答案：214.棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是

．参考答案：84π由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，则外接球的半径，则外接球的表面积为.

15.已知平行四边形中,,则

．参考答案：考点：向量的几何形式的运算及数量积公式的综合运用．【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查向量的几何形式的运算和数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的三角形法则建立方程组,求出,,再运用向量的数量积公式求得,进而求得.16.如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为

．参考答案：考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面积小于的概率．解答： 解：∵OA=1，△AOB的面积小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面积小于的概率为．故答案为：．点评：本题考查△AOB的面积小于的概率，确定0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π是关键．17.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：；根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是21，则___________.参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列，设,数列。（I）求证：是等差数列；（II）求数列的前n项和Sn；参考答案：

于是两式相减得

……12分

略19.某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例．

参考答案：略20.已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）首先求出f（x）的导函数，分类讨论a的大小来判断函数的单调性；（2）利用转化思想：当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；【解答】解：（I）f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（ii）当a=1时，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；当a=1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．（II）由（I）知f'（x）=xex﹣ax当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；

记g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；（i）当时，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g'（x）＞g'（0）=0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0，符合题意；

（ii）当时，令h'（x）=0得x=ln（2a）；∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）=0；∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；

综上可得a的取值范围是．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等偏上题型．21.（本小题满分12分）已知（I）若对任意恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间上的最大值参考答案：

22.(本题满分12分)等差