计量经济学教学包课件第5章

计量经济学第5章自相关GDP对进口的促进作用到底有多大？建立我国商品出口额的计量经济模型，选择我国商品出口额作为因变量，选择国内生产总值（GDP）作为自变量，数据资料见表5-3所示，实际建模过程中，对变量均采用对数化处理。一元线性回归模型建立如下：为研究我国商品出口额0

1

tln

EX

=

b

+

b

ln

GDP

+

u(0.0221)(61.29)•上式中，lnEX表示商品出口额的对数值；lnGDP表示历年GDP的对数值。使用Eviews

软件的OLS回归估计结果得ln

EX

=

-5.6201+1.355

ln

GDPSe

=

(0.2371)t

=

(-23.70)R2

=

0.9916

F

=

3756.39

DW

=

0.4908由估计检验结果可以看出，回归系数的标准差非常小，t统计量较大，说明国

内生产总值GDP对我国商品出口额的影响是显著的。同时可决系数也非常高，

F统计量=3756.39，也表明模型异常的显著。可是有人提出：这里的弹性系数为1.355的结论不一定可靠。尽管所用样本数

据都是真实的，但是所计算的待估参数的估计值的方差及标准差被严重地低估了，t统计量和F统计量都远远被虚假地夸大了，因此所得结果是不可信的。那么，有什么充分的理由提出这样的质疑呢？本章内容安排5.1

自相关的性质5.2

自相关的后果5.3

自相关的诊断5.4

自相关的补救措施5.5

自相关系数的估计第5章自相关5.1

自相关的性质一、自相关的概念自相关（auto

correlation），又称序列相关（serialcorrelation）是指总体回归模型的随机误差项之间存在相关关系。即不同观测点上的误差项彼此相关。r

的取值范围为-1

£

r

£

1式（6.1）中ut

-1

是ut

滞后一期的随机误差项。因此，将式（6.1）计算的自相关系数r

称为一阶自相关系数。一阶自相关系数(6.1)nr

=

t=2

自相关系数r

的定义与普通相关系的公式形式相同

utut

-1n

n2tuu2t

-1t

=2

t

=2

二、自相关产生的原因自相关产生的原因自相关产生的原因经济系统的惯性经济系统的惯性经济活动的滞后效应经济活动的滞后效应数据处理造成的相关数据处理造成的相关蛛网现象蛛网现象模型设定偏误模型设定偏误自相关现象大多出现在时间序列数据中，而经济系统的经济行为都具有时间上的惯性。如GDP、价格、就业等经济指标都会随经

济系统的周期而波动。例如，在经济高涨

时期，较高的经济增长率会持续一段时间，而在经济衰退期，较高的失业率也会持续

一段时间，这种现象就会表现为经济指标

的自相关现象。原因1－经济系统的惯性滞后效应是指某一指标对另一指标的影响不仅限于当期而是延续若干期。由此带来变量的自相关。例如，居民当期可支配收入的增加，不会使居民的消费水平在当期就达到应有水平，而是要经过若干期才能达到。因为人的消费观念的改变客观上存在自适应期。原因2－经济活动的滞后效应因为某些原因对数据进行了修整和内插处理，在这样的数据序列中就会有自相关。例如，将月度数据调整为季度数据，由于

采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使季度数据具有平滑性，这种平滑性产生

自相关。对缺失的历史资料，采用特定统

计方法进行内插处理，使得数据前后期相

关，产生了自相关。原因3－数据处理造成的相关原因4－蛛网现象蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需的均衡点。许多农产品的供给呈现为蛛网现象，供给对价格的反应要滞后一段时间，因为供给需要经过一定的时间才能实现。如果时t期的价格

Pt

低于上一期的价格

Pt

-1

，农民就会减少时期

t

+1

的生产量。如此则形成蛛网现象，此时的供给模型为:St

=

b1

+

b2

P

ut

-1

+

t如果模型中省略了某些重要的解释变量或者模型函数形式不正确，都会产生系统误差，这种误差存在于随机误差项中，从而带来了自相关。由于该现象是由于设定失误造成的自相关，因此，也称其为虚假自相关。原因5－模型设定偏误例如，应该用两个解释变量，即:而建立模型时，模型设定为:

Yt

=

b0

+

b1

X1t

+

ut则X2t对Yt

的影响便归入随机误差项ut

中，由于ut

在不同观测点上是相关的，这就造成了在不同观测点是相关的，呈现出系统模式，此时ut

是自相关的。Yt

=

b0

+

b1

X1t

+

b2

X

2t

+

ut模型形式设定偏误也会导致自相关现象。如将形成本曲线设定为线性成本曲线，则必定会导致自相关。由设定偏误产生的自相关是一种虚假自相关，可通过改变模型设定予以消除。自相关关系主要存在于时间序列数据中，但是在横截面数据中，也可能会出现自相关,通常称其为空间自相关（Spatial

auto

correlation）。例如，在消费行为中，一个家庭、一个地区的消费行为可能会影响另外一些家庭和另外一些地区，就是说不同观测点的随机误差项可能是相关的。多数经济时间序列在较长时间内都表现为上升或下降的超势，因此大多表现为正自相关。但就自相关本身而言是可以为正相关也可以为负相关。三、自相关的表现形式自相关的性质可以用自相关系数的符号判断即

r

<

0

为负相关，r

>0为正相关。当

|

r

|接近1时，表示相关的程度很高。

自相关是

u1

,u2

,...,un

序列自身的相关，因随机误差项的关联形式不同而具有不同的自相关形式。自相关多出现在时间序列数据中。体回归模型(PRF)的随机项为如果自相关形式为自相关的形式对于样本观测期为n

的时间序列数据，可得到总u1

,

u2

,...,

un，tut

=

rut-1

+

vt

-

1

<

r

<

1其中r

为自相关系数，v

为经典误差项，即t

t

t

t+sE(v

)

=

0

,

Var(v

)

=

s

2

,

Cov(v

,

v)

=

0

,

s

„

0则此式称为一阶自回归模式，记为AR(1)。因为模型中ut

-1是ut滞后一期的值，因此称为一阶。此式中的r

也称为一阶自相关系数。如果式中的随机误差项vt

不是经典误差项，即其中包含有ut

的成份，如包含有ut

-2显含在回归模型中，其为则需将vtut

=

r1ut

-1

+

r2ut

-2

+

vt¢其中，r1

为一阶自相关系数，r2

为二阶自相关系

数，vt¢是经典误差项。此式称为二阶自回归模式，记为A。R(2)一般地，如果

u1

,u2

,...,ut

之间的关系为ut

=

r1ut

-1

+

r2ut

-2

+

...

+

rmut

-m

+

vt其中，vt

为经典误差项。则称此式为m

阶自回归模式，记为AR(m)。在经济计量分析中，通常采用一阶自回归形式，即假定自回归形式为一阶自回归AR(1)。5.2

自相关的后果本节基本内容:一阶自回归形式的性质自相关对参数估计的影响自相关对模型检验的影响自相关对模型预测的影响对于一元线性回归模型:Y

=

b0

+

b1

X

+

u假定随机误差项u存在一阶自相关:u

t

=

rut

-1

+

vt其中，ut

为现期随机误差，ut

-1

为前期随机误差。差的假定。Var(v

)

=

s

2t

vtvt

是经典误差项，满足零均值E(v

)=0

，同方t

s，无自相关

E(v

v

)

=

0 (t

„

s)一、一阶自回归形式的性质ut

-1

=

rut

-2

+

vt

-1

,

ut

-2

=

rut

-3

+

vt

-2逐次代入可得:,

...将随机误差项ut

的各期滞后值:。当这些权数是随时间推移而呈几何衰减的；机误差序列

vt

,

vt

-1

,

vt

-2

,数分别为

1

,

r

,

r2

,而当时，这些权数是随时间推移而交错振荡衰减的。r

=0的加权和，权0

<r

<1时，这表明随机误差项ut

可表示为独立同分布的随t

-

ru

=

v

+

rv

+

r

2

vt

t t

-1

t

-2+

...

=

rr

v∞-1

<

r

<

0可以推得:表明，在ut

为一阶自回归的相关形式时，随机误差ut

依然是零均值、同方差的误差项。r

=0)

=

0rtE(u

)

=t

-

rr

E(v∞22

nr

=0tVar(v

)

=t

-

rr

Var(v

)

=uσ

v

=s

21-

r

2∞Cov(ut

,

ut

-1

)

=

E(utut

-1

)可得随机误差项分别为:t-k与u其t

以前各期

的u协方差由于现期的随机误差项

vt

并不影响回归模型中随机误差项

ut

的以前各期值

ut-k

(k

>

0)

，所以

vt

与

ut-k

不相关，即有

E(vtut-k

)

=

0

。因此，vrs

21-

r

2=r

2s

21-

r

2Cov(ut,

ut

-2

)

=

E(ut

ut

-2

)

=

v

以此类推，可得:这些协方差分别称为随机误差项ut

的一阶自协方差、二阶自协方差和k阶自协方差)=

v

rks

21-

r

2kt t

-kCov(u

,

ut

-k)

=

r

Var(u二、对参数估计的影响在有自相关的条件下，仍然使用普通最小二乘并且将低估真实的1法将低估估计b量ˆn

-

kSe2sˆ

2

=

i

s

21的方差Var(bˆ

)的方差为:ˆσ

2s

2Var(b1

)

=

(

X

-

X

)2

=

x2对于一元线性回归模型，当u为经典误差项时，1普通最小二乘估计量bˆ即1，这一点在普通最小二乘法无偏随机误差项

u

有自相关时，bˆ

依然是无偏的，1

1E(bˆ

)

=

β性证明中可以看到。因为，无偏性证明并不需要u满足无自相关的假定。那么，最小二乘估1计量

bˆ

是否是有效呢？下面我们将说明。(

)s

2122222ˆAR

(1)ttnnntttVar

bxx2s

2x

xn-1n-2xxx=+

xt

xt

+1

xt

xt

+2t

=1t

=1t

=1r

t

=1

+

r2

t

=1

++

rn-1

1

n

(1)当存在自相关时，普通最小二乘估计量不再是最佳线性无估计量，即它在线性无偏估计量中不是方差最小的。在实际经济系统中，通常存在正的自相关，即

r>0

，同时

X序列自身也呈正相关，因此式(1)右边括号内的值通常大于0。因此，在有自相关的条件下，仍然使用普通最小二乘法将。Var(bˆ

)(n

-k

)

将低估真实的s

2

。isˆ

2

=

Se21

1低估估计量 的方差bˆ三、对模型检验的影响对模型检验的影响对模型检验的影响考虑自相关时的检验忽视自相关时的检验ˆs

2Var(b2

)

=

Σx

2t忽视自相关时的检验如果我们忽视自相关问题依然假设经典假定成立，使用，将会导致错误结果。当r

>0，即有正相关时，对所有的有r

j

>0。另外回归模型中的解释变量在不同时期通常是正相关的，对于

和来说t

+

j

Xt

Xt+j

是大于0的。tX

Xj综上所述，在自相关情形下，无论考虑自相关，还是忽视自相关，通常的回归系统显著性的t检验都将是无效的。类似地,由于自相关的存在,参数的最小二乘估计量是无效的，使得F检验和t检验不再可靠。一个被低估了的标准误意味着一个较大的t统计量。因此，当r

<0时，通常t统计量都很大。这种有偏的t统计量不能用来判断回归系数的显著性。四、对模型预测的影响模型预测的精度决定于抽样误差和总体误差项的方差 。抽样误差来自于对的估计，在自相关情形下，bˆj的方差的最小二乘估计变得不可靠，由此必定加大抽样误差。同时，在自相关情形下，对的估计 也会不可靠。由此可看出，影响预测精度的两大因素都会因自相关的存在而加大不确定性，使预测的置信区间不可靠，从而降低预测的精度。2s2

2ˆis

=

Se

/

n

-

kˆjb2s5.3

自相关的诊断本节基本内容:图示检验法DW检验法一、图示检验法图示法是一种直观的诊断方法，它是把给定的回归模直接用普通最小二乘法估计参数，求出残差项et

，et作为ut

随机项的真实估计值，再描绘et的散点图，根据散点图来判断et

的式。t相关性。残差e

的散点图通常有两种绘制方图5-1绘制

et

-1

,

et

的散点图。用et

与et

-1

的关系(et

-1,

et

)

(t

=1,

2,...,

n)作为散布点绘图，如果大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表明随机误差项ut

存在着正自相关。如果大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么随机误差项ut

存在着负自相关。etet

-1etet-1图

5-2

et与et-1的关系二、对模型检验的影响表明存在着自相关；如果不断地改变符号，那么随机误差项et呈现锯齿形或循环形状的变化，就可断言et存在相关，随e着t按照时间顺序绘制回归残差项

et

的图形。如果et(t

=

1,

2,,

n)

随着

t

的变化逐次有规律地变化，的变t

化逐次变化并存u在t

负自相关etttettt在正自相关。几个正的

e后面跟着几个负的，则表明随机误差项

u

存图

5-4

et

的分布如果

et

随着t的变化逐次变化并不频繁地改变符号，而是二、DW检验法DW检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验方法。

DW检验只能用于检验随机误差项具有一阶自回归形式的自相关问题。这种检验方法是建立经

济计量模型中最常用的方法，一般的计算机软

件都可以计算出DW

值。2)2nt t

-1DW

=

t

=

2

nt

=1e

(e

-

e

t随机误差项的一阶自回归形式为：ut

=

rut

-1

+

vt为了检验序列的相关性，构造的原假设是：H0

:

r

=

0为了检验上述假设，构造DW统计量首先要求出回归估计式的残差et定义DW统计量为：22nnntt-1

t

t-1DW

=

t=2

t=2

t=2

tt=1e

+e2

e

-

2e

en22t

-12nt

=2nt

=2nt

=1tte

≈ee

）（由≈＝（2

1－rˆ）nnte2

t

=1

et

et

-1

≈

2

1-

t

=2

2nt

t

-1nte

eet

=1（由rˆ

≈

t

=2

）的对应关系如表所示。由DW

»2(1-rˆ)可得DW

值与rˆ4(2,4)2(0,2)0-1(-1,0)0(0,1)1DWrˆDW-14(-1,0)(2,4)02(0,1)(0,2)10由上述讨论可知DW的取值范围为：0≤DW≤４根据样本容量n和解释变量的数目k(不包括常数项)查DW分布表，得临界值dL

和dU

，然后依下列准则考察计算得到的DW值，以决定模型的自相关状态。DW检验决策规则0

£

DW

£

dL误差项u1,u2

,...,un

间存在正相关d

L

<

DW

£

dU不能判定是否有自相关dU

<DW<4-dU误差项

u1,u2

,...,un

间无自相关4-dU

£DW<4-dL不能判定是否有自相关4-

dL

£DW

£4误差项u1,u2,...,un

间存在负相关用坐标图更直观表示DW检验规则：不能确定正自相关不能确定负自相关4无自相关2LdUdUL4-d

4-df

(DW)DWDW检验有两个不能确定的区域，一旦DW值落在这两个区域，就无法判断。这时，只有增大样本容量或选取其他方法DW统计量的上、下界表要求n

‡15

，这是因为样本如果再小，利用残差就很难对自相关的存在性做出比较正确的诊断DW检验不适应随机误差项具有高阶序列相关的检验只适用于有常数项的回归模型并且解释变量中不能含滞后的被解释变量DW检验的缺点和局限性5.4

自相关的补救本节基本内容:广义差分法科克伦－奥克特迭代法其他方法简介一、广义差分法定为一阶自回归形式，即对于自相关的结构已知的情形可采用广义差分法解决。由于随机误差项ut是不可观测的，通常我们假t

t

-1

tu

=

ru

+

v（5.3.1）

其中，|

r

|<1

，vt

为经典误差项。当自相关系数为已知时，使用广义差分法，自相关问题就可彻底解决。我们以一元线性回归模型为例说明广义差分法的应用。tu对于一元线性回归模型Yt

=

b0

+

b1

Xt

+

ut将模型（5.3.13）滞后一期可得(5.3.13)Yt

-1

=

b0

+

β1Xt

-1

+

ut

-1用r

乘式（5.3.15）两边，得rYt

-1

=

rb0

+

rb1

Xt

+

rut

-1(5.3.15)对模型（5.3.18）使用普通最小二乘估计就会得到参数估计的最佳线性无偏估计量。这称为广义差分方程，因为被解释变量与解释变量均为现期值减去前期值的一部分，由此而得名。，即丢失了第一个观测值。如果样本容量较大，减少一个观测值对估计结果影响不大。但是，如果样本容量较小，则对估计精度产生

较大的影响。此时，可采用普莱斯－温斯滕（Prais-Winsten）变换，将第一个观测值变换为：乘法估计参数。1

1Y

1-

r2

和X

1-

r2在进行广义差分时，解释变量X

与被解释变量Yn为-1均以差分形式出现，因而样本容量由n

减少t

t补充到差分序列Y

*

,X

*

中，再使用普通最小二二、Cochrane

－Orcutt迭代法在实际应用中,自相关系数r往往是未知的，r必须通过一定的方法估计。最简单的方法是据

DW统计量估计r。由DW

与r的关系可知:rˆ

=

1

-

DW2但是,式(6.31)得到的是一个粗略的结果，rˆ是对r

精度不高的估计。其根本原因在于我们对有自相关的回归模型使用了普通最小二乘法。为了得到r

的精确的估计值rˆ

，人们通常采用科克伦－奥克特（Cochrane－Orcutt）迭代法。t该方法利用残差u去估计未知的r。对于一元线性回归模型Yt

=

b1

+

b2

X

t

+

ut假定ut为一阶自回归形式，即:ut

=

rut

-1

+

vt科克伦－奥克特迭代法估计r的步骤如下：

1.使用普遍最小二乘法估计模型Yt

=

b1

+

b2

Xt

+

uttt

-1te(1)

=

rˆ

(1)

e(1)

+

vt2.利用残差e(1)做如下的回归t并获得残差：e(1)3.利用rˆ(1)

，对模型进行广义差分，即令使用普通最小二乘法，可得样本回归函数为：Y

-

rˆ(1)Y

=

b

(1-

rˆ(1)

)

+

b

(

X

-

rˆ(1)

X

)

+

u

-

rˆ(1)ut t

-1

1

2

t t

-1

t t

-1tY

*t

-1=

Y

-

rˆ

(1)Y

X*

=

X

-

rˆ(1)

Xt t

-1

t

t1ˆ

ˆ*

*2

t(2)tX

+

e=

b*

+

btYˆ*1=

b

(1

-

rˆ

(1)

)1b*4.因为rˆ(1)

并不是对r

的最佳估计，进一步

迭代，寻求最佳估计。由前一步估计的结果有：将新的2

残差如下：*1ˆ

ˆb=

b

(1-

rˆ(1)

)和代入1

原回归方程,求得2=

bˆ*bˆbˆ

,

bˆ1

21te

(3

)t2

t=

Y

-

b

-

b

X的最佳估计值，我们并不能确认rˆ(2)是否是r还要继续估计r

的第三轮估计值rˆ(3)。当估计的rˆ(k

)与rˆ(k

+1)相差很小时，就找到了r

的最佳估计值。t5.利用残差e(3)做如下的回归e(3)

=

rˆ

(2)

e(3)

+

vt t

-1

t这里得到的rˆ(2)就是r

的第二轮估计值三、其它方法简介（一）一阶差分法Yt

=

b1

+

b2

Xt

+

ut式中，ut为一阶自回归AR(1)。将模型变换为：DYt

=

b2

DXt

+

ut

-

ut

-1如果原模型存在完全一阶正自相关，即r

=1则ut

=

ut

-1

+

vt其中，vt

为经典误差项。则随机误差项为经典误差项，无自相关问题。使用普通最小二乘法估计参数，可得到最佳线性无偏估计量。当自相关系数未知时，也可采用德宾提出的两步法，消除自相关。将广义差分方程表示为：Yt

=

b1

(1

-

r

)

+

b2

X

t

-

rb2

X

t

-1

+

rYt

-1

+vt（二）德宾两步法第一步，把上式作为一个多元回归模型，使用普通最小二乘法估计参数。把Yt

-1

的回归系数rˆ

看作r

的一个估计值。第二步，求得rˆ后，使用rˆ

进行广义差分，求得序列：Y

*

和然后使用普通最小二乘法对广义差分方程估计参数，求得最佳线性无偏估计量。t

t t

-1

t

t t

-1=

Y

-

rˆY

X*

=

X

-

rˆ

X研究目的：建立我国商品出口额的计量经济模型，选择我国商品出口额作为因变量，选择国内生产总值（GDP）作为自变量，建立模型ln

EX

=

b0

+

b1

ln

GDP

+

ut上式中，lnEX表示商品出口额的对数值；

lnGDP表示历年GDP的对数值。案例分析表5-3水平值1978~2011年我国商品出口总额及GDP数据对数值 水平值 对数值时间EXGDPLNEXLNGDP时间EXGDPLNEXLNGDP1978167.63645.225.128.20199512451.860793.739.4311.021979211.74062.585.368.31199612576.471176.599.4411.171980271.24545.625.608.42199715160.778973.039.6311.281981367.64891.565.918.50199815231.684402.289.6311.341982413.85323.356.038.58199916159.889677.059.6911.401983438.35962.656.088.69200020634.499214.559.9311.511984580.57208.056.368.88200122024.4109655.210.0011.611985808.99016.046.709.11200226947.9120332.710.2011.7019861082.110275.186.999.24200336287.9135822.810.5011.821987147012058.627.299.40200449103.3159878.310.8011.9819881766.715042.827.489.62200562648.1184937.411.0512.131989195616992.327.589.74200677594.59216314.411.2612.2819902985.818667.828.009.83200793455.63265810.311.4512.4919913827.121781.58.259.992008100394.9314045.411.5212.6619924676.326923.488.4510.20200982029.6934090211.3112.7419935284.835333.928.5710.472010107022.840151311.5812.90199410421.848197.869.2510.782011123240.647288211.7213.07年份全年人均纯收入全年人均消费性支出消费价格指数人均实际纯收入人均实际消费性支出(现价)(现价)(1985=100)(1985可比价)(1985可比价)19941221.001016.81248.0492.34410.0019951577.701310.36291.4541.42449.6919961923.101572.10314.4611.67500.0319972090.101617.15322.3648.50501.7719982162.001590.33319.1677.53498.2819992214.301577.42314.3704.52501.7520002253.401670.00314.0717.64531.8520012366.401741.00316.5747.68550.0820022475.601834.00315.278