广东省惠州市龙江中学高三数学文联考试卷含解析

广东省惠州市龙江中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，那么的值是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略2.已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个命题正确的是（）①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．A．②④ B．①② C．③④ D．①③参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m?平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m?平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．3.阅读右边的程序框图，则输出的S等于A、14

B、20

C、30

D、55参考答案：C4.若全集，集合，，则（

）

（A）（B）（C）（D）参考答案：B略5.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．6.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是

A．

B．

C.

D．参考答案：C7.函数的图象大致是参考答案：B8.若，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C9.已知四面体，平面，,若，则该四面体的外接球的体积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.“m=2”是“直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=2相切”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解可得到m的值，即可得出结论．解答： 解：由圆x2+y2=2，得到圆心（0，0），半径r=，∵直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=2相切，∴圆心到直线的距离d=r，即=，整理得：|m|=2，即m=±2，∴“m=2”是“直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=2相切”的充分不必要条件，故选：A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是

．参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围．解答： 解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（e）=，则在A（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），即y=．当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x＜1时，函数f（x）==，有两个不同的交点，即（x+2）（x﹣a）=x，在x＜1时，有两个不同的根，设g（x）=（x+2）（x﹣a）﹣x=x2+（1﹣a）x﹣2a，则满足，即，∴，解得或，即实数a的取值范围是．故答案为：．点评：不同主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的根的分布是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．12.已知实数x,y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于_______________．参考答案：5略13.设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是

。参考答案：略14.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值_______．参考答案：2【分析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入，即可判断函数的最大值。【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图求得区域的顶点分别为，，，分别将三点代入目标函数得：，，，所以的最大值为【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。15.给定函数①，②，③，

④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

；参考答案：②③16.设,则的最小值为

。参考答案：9本题考查基本不等式的应用，难度中等。因为当且仅当即时取等号。17.设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．参考答案：（2，3）【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将等式化简，再利用基本不等式求最值，即可得到P的坐标．【解答】解：由题意，=∵，∴y＞2∴=8当且仅当，即y=x+1时，m取得最小值为8∵y=x2﹣1∴x=2，y=3∴P（2，3）故答案为：（2，3）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得表：日需求量n89101112频数101015105①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润（单位：元）的平均数；②若该店一天购进10件该商品，记“当天的利润在区间[400，550]”为事件A，求P（A）的估计值．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润，（Ⅱ）①50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560，求其平均数即可．②当天的利润在区间[400，500]有11+15+10天，即可求解概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥10时，利润为y=50×10+（n﹣10）×30=30n+200；当需求量n＜10时，利润y=50×n﹣（10﹣n）×10=60n﹣100．…4所以利润y与日需求量n的函数关系式为：y=…5（Ⅱ）50天内有10天获得的利润380元，有10天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元…8①=476…10②事件A发生当且仅当日需求量n为9或10或11时．由所给数据知，n=9或10或11的频率为f==0.7．故P（A）的估计值为0.7…1219.(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．参考答案：解：(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，……2分又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．整理得：tanC＝．

……6分(Ⅱ)：由tanC＝得sinC＝．又由正弦定理知：，故．(1)

……8分对角A运用余弦定理：cosA＝．(2)……10分解(1)(2)得：或

b＝(舍去)．……11分∴ABC的面积为：S＝．……12分20.（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： （1）先求出函数f（x）的定义域为R，再可判断f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x）；从而判断．（2）易知函数f（x）在R上单调递增，从而化函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点为，从而解得．解答： （1）函数f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x）；则函数f（x）为奇函数．（2）易知函数f（x）在R上单调递增，∵函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，∴，解得﹣1＜a＜1；故实数a的取值范围为（﹣1，1）．点评： 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题．21.已知函数f（x）=|x2﹣1|，g（x）=a|x|﹣1．（Ⅰ）求不等式f（x）≤3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等价于0≤x2≤4，由此求得x的范围．（Ⅱ）由题意可得a|x|≤|x2﹣1|+1①恒成立，当x=0时，①显然成立．当x≠0时，分|x|＞1、0＜|x|≤1两种情况，分别求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等价于|x2﹣1|≤3，即﹣3≤x2﹣1≤3，即0≤x2≤4，故有﹣2≤x≤2．（Ⅱ）f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，即|x2﹣1|≥a|x|﹣1，即a|x|≤|x2﹣1|+1①，当x=0时，①显然成立．当x≠0时，若|x|＞1，①即a|x|≤x2﹣1+1=x2，∴a≤|x|恒成立，故a≤1．当0＜|x|≤1时，①即a|x|≤1﹣x2+1，∴a≤=﹣|x|恒成立，∴a≤2﹣1=1．综上可得，a≤1．22.设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．参考答案：（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n≥2时，an+Sn=bn+c，③an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b﹣d（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），当n≥2时，an+Sn=pn2+qn+t，⑤an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考虑到a1=1，所以an=1+（n﹣1）?2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2pn﹣2p+1（n∈N*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．（4）当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．专题： 综合题；压轴题．分析： （Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即an+Sn=c，结合数列中an与Sn关系求出数列{an}的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．解答： （Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，