高考数学总复习立体几何中的向量方法理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.立体几何中的向量方法理-A3演示文稿设计与制作§8.7立体几何中的向量方法

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.7立体几何中的向量方法双基研习•面对高考1．直线间的夹角(1)当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作_________________________．(2)当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中不超过90°的角叫作_________________．(3)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.双基研习•面对高考基础梳理异面直线l1与l2的夹角两直线的夹角〈s1，s2〉2．平面间的夹角(1)两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这__________________．(2)如图，平面π1和π2的法向量为n1和n2，θ＝∠MRN为两平面的夹角，它由_________确定．两个平面的夹角〈n1，n2〉θ＝____________或θ＝______________．〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉直线的方向向量平面的法向量夹角思考感悟如何求线面距离与面面距离？提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离．课前热身1．(原创题)已知两平面的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0，－1，－1)，则两平面的夹角为(

)A．45°

B．135°C．45°或135°D．90°答案：A答案：A答案：B4．已知点M(－1,1，－2)，平面π的法向量n＝(1，－2,2)，点Q(0,0,0)在平面π内，则点M到平面π的距离为________．考点探究•挑战高考考点突破考点一求异面直线所成的角例1(2010年高考天津卷)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明：AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．【思路点拨】建立适当的坐标系，利用向量运算求解．【名师点评】利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．考点二直线和平面所成的角在利用空间向量求线面角时，首先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角，再通过互余关系来得到相应的线面角，但要注意：若平面法向量与直线方向向量的夹角为α(α可为锐角或钝角)，则直线与平面所成的角θ应满足sinθ＝|cosα|.例2【思路点拨】

(1)以CD的中点O为坐标原点，OC为x轴，BO为y轴，OM为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解．【解】取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点评】

求直线与平面的夹角一般有两种方法，一是作出线面角，其关键是找到直线在平面内的射影，可由面面垂直的性质确定；二是由向量法求解，但要注意两角的关系．变式训练1

(2009年高考湖南卷)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．解：(1)由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.考点三求二面角利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．例3【思路点拨】

给出的图形便于建立空间直角坐标系，建系后，利用空间向量的坐标运算求解．【解】

(1)如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz.【规律小结】利用向量方法来解决二面角问题，关键是求出两个半平面的法向量，再求这两个法向量所成的角，此时还应注意所求的二面角是锐二面角，还是钝二面角．考点四利用空间向量求距离用空间向量求点到平面的距离的方法步骤是：(1)求出平面的单位法向量n0；(2)任取一条过该点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求出n0与n1的数量积的绝对值，即得点到平面的距离d＝|n0·n1|，其中单位法向量由法向量除以它的模得到，斜线段可以任取，但必须经过该点．例4【思路点拨】

【解】

(1)如图，以S为坐标原点，射线SD，SC分别为x轴，y轴正向，建立空间直角坐标系，设A(xA，yA，zA)，【规律小结】利用向量法求点面距，其步骤如下：①求出该平面的一个法向量；②找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图．方法感悟方法技巧1．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.(如例1)(2)求直线l与平面α的夹角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝|cos〈n，a〉|.(如例2)(3)求二面角α-l-β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．(如例3)3．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．(如例4)失误防范1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．2．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．考情分析考向瞭望•把脉高考利用向量解决立体几何问题是高考中每年必考的知识点之一，考查重点是利用向量讨论平行与垂直，以及利用向量求空间的角和距离，题型主要为解答题，难度中等偏高，主要考查向量的坐标运算，同时考查学生的空间想象能力和运算能力．预测2012年高考仍将以用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角为主要考点，重点考查空间想象能力和运算能力．真题透析例【解】

(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．【名师点评】

(1)本题易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角等于所求二面角的大小，在计算时对两个面的法向量和二面角的关系判断错误，在平面的法向量方向不同时把锐二面角的余弦值算出个负值．如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在棱CD上．(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．名师预测感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，