2.3 数学归纳法课件

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数学归纳法2.3数学归纳法从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”"万百千"的笑话2.3数学归纳法犯了不完全归纳法的错误,一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。万百千在学习上犯了什么错误?2.3数学归纳法

对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛

完全归纳法（枚举法）不完全归纳法

归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是一种特殊的直接证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。2.3数学归纳法阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能使所有的牌倒下的条件是什么？两个基本条件：（1）要推倒第一块牌；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块牌倒下能导致后一块牌倒下（连续性）2.3数学归纳法研读教材P92-P93思考1.数学归纳法的定义2.数学归纳法适用范围是什么?3.数学归纳法的步骤(原理)是什么?4.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么?5.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”,你怎样理解这句话？2.3数学归纳法数学归纳法的定义

一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤成立：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立；证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。2.3数学归纳法数学归纳法适用范围主要用于研究与正整数有关的数学问题数学归纳法的关键与难点2.3数学归纳法用框图表示为：验证n=n0时命题成立。若n=k(k≥n0)

时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始的所有的自然数n都成立。归纳奠基归纳递推

注：两个步骤,一个结论,缺一不可2.3数学归纳法注意

1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明2.3数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即那么

这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。2.3数学归纳法课堂练习2.3数学归纳法2.3数学归纳法2.3数学归纳法2.3数学归纳法2.3数学归纳法例2．证明：平面上n个圆最多把平面分成n2－n+2个区域。证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2－n+2=2，因此结论当n=1时成立；（2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2－k+2个区域。在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点，2.3数学归纳法

这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成(k2－k+2)+2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，

这就是说，当n=k+1时，结论也正确，由（1）和（2）可以断定，结论对任何n∈N+都正确。2.3数学归纳法例3．求证：当n≥5时，2n>n2，证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因此25>52，即n=5时，结论正确；（2）假设当n=k(k≥5)时，这个命题是正确的，那么由2k>k2得这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的.

由（1）和（2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。2.3数学归纳法例4．求证：凸n边形的对角线的条数为证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.（2）设凸k边形的对角线的条数为当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,2.3数学归纳法

该顶点与原k边形中的(k－2)个顶点可连成(k－2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k－1)条对角线,所以

即n=k+1时，命题成立。由（1）、（2）可知，凸n边形的对角线的条数为2.3数学归纳法例5．求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.证明：(1)n=1时，71+1=8能被8整除；(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M，M∈N)则当n=k+2时，

7k+2+1=72·7k+72－72+1=72(7k+1)－48=49×8m－8×6=8(49M－6)∵49M－6∈N

∴命题成立

由（1）、（2）可知