多元函数微分学习题课周六

f(x,y)= (x,y)fi(x0,y0

(x-x0)2+(y-(x-x0)2+(y-y)203 常选择两条不同路径求出不同的极限值特别对于limf(x,y),常研究 f(x,xfiyfi

xfiy=kxfi若其依赖于k,则limfx,y)不存在xfiyfi求极限值常按⼀元函数极限的求法求之.4定义1zf(xy)在P0(x0y0)定义,分别给自变量xy在x0y0处以增量Dx得全增量Dzfx0Dxy0Dyfx0y0 如果极限limDz0则称zf(xy)在点P0(x0 DDyfi处连续定义2zf(xy)满足如下条件zf(xy)在P0(x0y0)的某邻域内有定义limf(x,y)存在 (3)limf(x,y)=f(x0,y0xfiyfi

xfiyfi则称函数zf(xy)在点P0(x0y0)连续5定义zf(xy f(x,y

( f(x,

x=

y=称它为zf(xy)在点(x0y0)处对x(对y的偏导数

x=y=

x=y=

,zx

x=x0y=

或

(

,y0

fx(

,

)=Dxfi

f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0

,

)=

f(x0,y0+Dy)-f(x0,y0Dyfi

设u=

yz,

¶u=yzxyz-

¶x ¶u=xyzlnxzyz-1=zyz-1xyzln¶u=xyzln yzlny=yzxyzlnxlnz „(xy)z=x7 设f(x,y)=(x+y)j(x,y),其中j(x,y)在(0,0)连续,求

(0,0)

(0,0)

=limf(0+Dx,0)-fDxfi =lim[(0+Dx)+0]j(0+Dx,0)-0=jDxfi

=limf(0,0+Dy)-f

Dyfi Dyfi 8如果函数zf(xy)在点(xy)Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,Dz=ADx+BDy+o(r

(rfi(Dx)2+(Dy)2其中A、B仅与(Dx)2+(Dy)2r

则称函数zf(xy)在点(x处可微,ADxBDy称为函数zf(xy)在点(x处的全微分记作dz,dz=ADx+这函数在D内的可微函数.9zf(uv)具有连续偏导数微全微分dz=¶zdu+¶z 微 当ujxy),v=yx,y)时,则有全微分

全微分为dz¶zdx¶z 之和称为二元函数的微分符合叠加原理.如三元函数ufx,yz),则 设uux,y),vvx,y)在x,y)可微,d(uv)dudv;d(cucdu,c为常数;d(uv)vduudv;d(u)v

(v„ 设z=arcsiny,求全微分x 法一全微分形式不变性1-y2xx1-y2xx

ydxd 1-xy x2- 1-xy x2-例例设zarcsiny,求全微分x 法二叠加原理dz

dx

x2 x2-y2¶z

-y

1-1-xy2

x2 1-x1-xy

x2x2- x2-dz=xdy x2-判别f(xy)在点(x0y0)是否可微的方法若f(xy)在点(x0y0)不连续或偏导不存在若f(xy)在点(x0y0)的邻域内连续必可微检查Dz-fxx0y0Dxfyx0y0(Dx)2+((Dx)2+(Dy)2Dz-fxx0y0Dxfyx0y0Dy]r无穷小(即极限为0)?若为0,则可微,否则不可微例f(x,y)=f(x,y)=

x2+y2„x2+x2+y2=函数f(xy)的偏导数是否存在函数f(xy)的偏导数是否连续函数f(xy)是否可微(1)f(0,0)limf(0Dx,0)fDxfi

(Dx)2

Dxfi1(Dx)2=

同样

所以函数f(xy)0.偏导数存在函数函数fx,y)(x2+y21x2+,x2+y2„x2+y2=ffx(0,0)=fy(0,0)=Dz=f(0+Dx,0+Dy)-frfi

=[(Dx)2+(Dy)2r

(Dx)2+(Dy)2[fx(0,0)Dx+fy(Dx)2+(Dx)2+(Dy)2=limrsin1=rfi r2于是Dz-fx(0,0)Dxfy(0,0)Dyo(rf(0,0)=x函数fx,y)(x2+y2)1x2f(0,0)=x函数fx,y)(x2+y2)1x2+,x2+y2„f(0,0)=yx2+y2=f(xy)在原点(0,0)可微(2当x2y20时f(x,y)=2x -2 x2+ x2+ x2+特别是当yx时,limf(x,x)=lim(2x

-1

1)不存在xfi

xfi

2 2即fx(xy)在原点(0,0)不连续同理可证,fy(xy)同理可证,fy(xy)在原点(0,0)也不连续

x24+y

(x,

„

(x,y)=证明xyfi(0,0)时,f(xy)的极限不存在问在点(0,0)处函数f(xy)是否连续?是否存在

x2 xfi0x4yfi

2=+xfi+y=kx2fi

x4+(kx2)2

故当xyfi(0,0)时,f(xy)的极限不存在(2在点(0,0)处函数f(xy)不连续在点(0,0)处全微分不存在例

x2

(x,

f(

4+y

(x,y)=证明xyfi(0,0)时,f(xy)的极限不存在问在点(0,0)处函数f(xy)是否连续?是否存在(2)f(0,0)limf(0Dx,0f Dxfi (0+Dx)4+02-

同样

fy(0,0)=Dxfi

=0,函数f(x,y)在点(0,0)处 fyy(x, ¶¶z=¶2z=(x, 定理求偏导数与次序无关定理如果函数zf(xy)fxyxy)与fyxxy)在区域D内连续fxyfxy(x,y)=fyx(x,例设ue-x

, x

1 x解

=-e-

+(e-y

=-

y

y-siny¶2z=e-x[-

cos

-1

x

x)-

x

x

令x2,y并代入上式π

1 π

)e解

¶z=(e-d

cosx)(-x例设u例设u , x.π π π

(-π2xe-xcosπx)

= e例设z1fxyyjxy)且f,jx导数,

¶2z

=-

f(xy)

xf(xy)y+yj(x+y)¶2z

- f(xy)x+

f(xy)

yf¢(xy)

+j(x+y)+yj(x+(((zf(uvuj(t),v=y(t的情形dz=¶zdu+¶zdv. ¶udt ¶vdt推 如zf(uvw),uu(tvv(tww(tdz= du+ dv+ ddz称为全导数(⼜称链dzf(u,vujx,yv=yx,y)的情形

zf(ux,y),其中ujx,y的情形¶z= ¶z= ¶u 设z=f(x2-y2,xy),其中f具有连续二阶偏导数 试 解

=2

yf¢¶2z=2x

(-2y)

x]

+y[2 (-2y)+2 xf

+2(x2-y2)f

+xy22+F(xy0yf(xdy=-Fx(x, Fy(x,

(Fy(x,y)„F(xyz0zz(xy¶z=-Fx(x,y,z) ¶z=-Fy(x,y,z) Fz(x,y, Fz(x,y,由三个变量两个方程所构成的方程组G(x,u,v)= G(x,u,v)= u=u(x),v=v(求dudv求法后⾯举例说明)dxdx由所构成的方程组

F(x,y,u,v)=G(x,y,u,v)=确定隐函数两个二元函数uuxyvvx.¶x¶y¶x 例设yy(xzz(x)

z=f(x,y)g(x,F(x,y,z)=所确定f,gF具有连续的偏导数dy,dzdx对各方程两边求全微分

d(uv)=vdu+dz=g(fxdx+fydy)+ (gxdx+gydy)=(gfx+fgx)dx+(gfy+fgy)dyFxdx+Fydy+Fzdz=0解方程组gf

+fgy)dy-dz=-(gfx+fgxFydy+Fzdz=- dy=-Fx+Fz(fgx+gfx)Fy+Fz(fgy+gfydz=-Fy(fgx+gfx)+Fx(fgy+gfy)Fy+Fz(fgy+gfyz=例设xeucosv,yeuz=和.试求 和. ¶z=¶z¶u+¶z =v¶u+u ¶u ¶v 分别将xeucosv和yeusinv两边对x1=eu¶ucosv-eusinv

解出¶u0=

u

sinv+eucosv

lPrba 如果极限limf(PlPrbaPfi =rfi

f(x+Dx,y+Dy)-f(x,r在点P沿方向l的方向导数 记 ,¶f=limf(x+Dx,y+Dy)-f(x, rfi 方向导数的计 充分条定理设zf(xy)在点P(xy)处可微,则函数¶f=

=¶f,¶fl

其中a、b分别为方向l与x轴、y轴正向的夹角 其中l0(cosa,cosb)为l的单位向量 定义设函数z=f(xy)在点P(xy)可偏导向量¶f,¶f

¶y为函数zf(xy)在点P(xy) 梯度(gradient),gradfx,ygradf(x,y)=¶f,¶f=

+¶f

¶f=¶fcosa+¶fcosb=gradf(x,y)(cosa,cosb¶l

¶f

a=gradf(x,y)l0=Prj

Prjab=l¶x¶y

|a 结论函数在某点的梯度是这样⼀个向量,它的方向与取得最⼤方向导数的方向⼀致⽽它的模|gradf(x,y)

¶f ¶f x=x(t设空间曲线的方程y=y(t t˛=z(ttt0曲线上⼀点M(x0y0z0则曲线在该点的x-x0=y-y0=z-z0x(t y(t z(tx(t0y(t0z(t0两个曲⾯G(x,y,z)=G(x,y,z)=z=z(确定了隐函数z=z(

x-x0=y-y0=z- ( ( x=(

yyx)表⽰

x-x0=y-y0=z- ( (1(x-x0)+(x0)(y-y0)+z(x0)(z-z0)=设曲⾯Σ的方程为Fx,yz0 F(x,y,z)=•S x设曲⾯Σ的方程为Fx,yz0的情形曲⾯在M(x0,y0,z0)处的法向量:所以曲⾯Σ上在点M+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=x- y- z- 曲⾯方程形为zfx,y)令Fx,yz)fx,yFx=fx Fy=fy,Fz=-

n=(fx,fy,-或x- =y- =z-z0 -定理f(xy)在点(x0y0)具有偏导数,且在(x0取极值fx(x0,y0)= fy(x0,y0)=,驻点注驻 极值注定理设函数zf(xy在点(x0y0)的某邻域内连续fx(x0,y0)=令fxxx0y0

fy(x0,y0)=fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C则f(xy在点(x0y0)处是否取得极值的条件如下ACB20有极值ACB20没有极值ACB20时可能有极值也可能无极值求函数zf(xy)极值的一般步骤

f(x,y)=解方程组 fy(x,y)=第二步对于每⼀个驻点(x0A、B、C第三步定出ACB2的符号f(xyz)达到最⼤(小)值的问题称为条先从附加条件jxyz)0解出⼀个变量代入f(xyz)中以消去⼀个变量后成为无条件极值 L(x,y,z,l)=f(x,y,z)+lj(x,y,⽽⽽ 其底部所占的区域为Dx,y)x2y2xy£75},小⼭的高度函数为hx,y)75x2y2xy.设M(x0,y0)为区域D上⼀点,问h(x,y)在该点的最⼤值为g(x0y0),试写出g(x0y0)的表达式.的g(x,y)达到最⼤值的点.试确定攀岩起点的位置.解(1)由梯度的⼏何意义知,h(xy)在点M(x0处沿梯度gradhxy)(xy)y02x0x02y0 (y0-(y0-2x0)2+(x-2y g(x0,y0)==5x2+5y2-8xy00 (2)令fxy)g2xy5x25y28由题意,f(xy)x2y2