椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质1第1页，课件共47页，创作于2023年2月复习：1.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时2第2页，课件共47页，创作于2023年2月二、椭圆简单的几何性质-a≤x≤a,-b≤y≤b

知oyB2B1A1A2F1F2cab1、范围：

椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中3第3页，课件共47页，创作于2023年2月椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）4第4页，课件共47页，创作于2023年2月2、对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，叫椭圆的中心。5第5页，课件共47页，创作于2023年2月3、椭圆的顶点（截距）令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)6第6页，课件共47页，创作于2023年2月123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

7第7页，课件共47页，创作于2023年2月4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0<e<11）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆[3]e与a,b的关系:思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？8第8页，课件共47页，创作于2023年2月标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c29第9页，课件共47页，创作于2023年2月标准方程范围对称性

顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.a>ba2=b2+c2|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前10第10页，课件共47页，创作于2023年2月例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,

它的长轴长是：

。短轴长是：

。焦距是：

。离心率等于：

。焦点坐标是：

。顶点坐标是：

。

外切矩形的面积等于：

。

106860解题的关键：2、确定焦点的位置和长轴的位置题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b11第11页，课件共47页，创作于2023年2月已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：

。短轴长是：

。焦距是：

.离心率等于：

。焦点坐标是：

。顶点坐标是：

。

外切矩形的面积等于：

。

2练习1.12第12页，课件共47页，创作于2023年2月练习求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。（1）x2+9y2=81(2)25x2+9y2=225(3)16x2+y2=25(4)4x2+5y2=113第13页，课件共47页，创作于2023年2月练习：已知椭圆的离心率求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。14第14页，课件共47页，创作于2023年2月例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。15第15页，课件共47页，创作于2023年2月例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质

注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，

于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，

故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为

16第16页，课件共47页，创作于2023年2月例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定位；⑵定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程17第17页，课件共47页，创作于2023年2月例2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程18第18页，课件共47页，创作于2023年2月练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。分类讨论的数学思想19第19页，课件共47页，创作于2023年2月练习：1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。①长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上②长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，Q(0,-3)两点.③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。20第20页，课件共47页，创作于2023年2月2.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。21第21页，课件共47页，创作于2023年2月22第22页，课件共47页，创作于2023年2月例3：(1)椭圆的左焦点是两个顶点，如果到F1直线AB的距离为，则椭圆的离心率e=

.题型三：椭圆的离心率问题23第23页，课件共47页，创作于2023年2月例3：(2)设M为椭圆上一点，为椭圆的焦点，如果，求椭圆的离心率。题型三：椭圆的离心率问题24第24页，课件共47页，创作于2023年2月题型三：椭圆的离心率问题25第25页，课件共47页，创作于2023年2月练习：D26第26页，课件共47页，创作于2023年2月2.1.2椭圆的简单几何性质（2）高二数学选修1-1

第二章圆锥曲线与方程27第27页，课件共47页，创作于2023年2月复习练习：1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（）2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是（）A、x2=4yB、x2+2xy+y=0C、x2-4y2=xD、9x2+y2=4CD28第28页，课件共47页，创作于2023年2月练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为

。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为

。3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为

。29第29页，课件共47页，创作于2023年2月4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，

则其离心率e=__________(±a,0)a(0,±b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c6、5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率

。30第30页，课件共47页，创作于2023年2月例5如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为yF2F1xoBCA31第31页，课件共47页，创作于2023年2月例1如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B距地面2384km.并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精确到1km).XOF1F2ABXXY解：以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，AB与地球交与C,D两点。由题意知：|AC|=439,|BD|=2384,DC∴b≈7722.32第32页，课件共47页，创作于2023年2月2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长为（）A.mn(km)B.2mn(km)D33第33页，课件共47页，创作于2023年2月所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。FlxoyMHd34第34页，课件共47页，创作于2023年2月思考上面探究问题，并回答下列问题：探究：（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义35第35页，课件共47页，创作于2023年2月探究、点M（x,y)与定点F（c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M的轨迹。yFF’lI’xoP={M|}由此得将上式两边平方，并化简，得设a2-c2=b2,就可化成这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b的椭圆M解：设d是M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合36第36页，课件共47页，创作于2023年2月FF’lI’xoy

由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。此为椭圆的第二定义.

对于椭圆，相应于焦点F（c,0)准线方程是,根据椭圆的对称性，相应于焦点F’(-c.0)准线方程是,所以椭圆有两条准线。37第37页，课件共47页，创作于2023年2月归纳:椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义1图形定义2平面内与38第38页，课件共47页，创作于2023年2月由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：39第39页，课件共47页，创作于2023年2月练习

（a>b>0）左焦点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、|PF2|叫焦半径.

（a>b>0）下焦点为F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、|PF2|叫焦半径.说明：PF1F2XYO40第40页，课件共47页，创作于2023年2月焦半径公式该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之间，如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－”号连接．①焦点在x轴上时：│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；②焦点在y轴上时：

│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。该公式的记忆方法为‘‘下加上减”，即在a与ey